Mostre que as equações de Lagrange podem ser escritas na forma explícita
\sum_{j=1}^{n} \frac{\partial^{2} L}{\partial \dot{q}_{j} \partial \dot{q}_{i}} \ddot{q}_{j}+\sum_{j=1}^{n} \frac{\partial^{2} L}{\partial q_{j} \partial \dot{q}_{i}} \dot{q}_{j}+\frac{\partial^{2} L}{\partial t \partial \dot{q}_{i}}-\frac{\partial L}{\partial q_{i}}=0, i=1, \ldots, n
Prove que duas lagrangianas \bar{L}(q, \dot{q}, t) e L(q, \dot{q}, t) geram equações de movimento idênticas se e somente se elas diferem pela derivada total em relação ao tempo de uma função arbitrária das coordenadas generalizadas e do tempo. Você deverá necessitar do resultado contido no Apêndice D.

Passo 1

O problema pede duas coisas claras:
  1. Mostrar que as equações de Lagrange podem ser escritas explicitamente na forma
\sum_{j=1}^{n} \frac{\partial^{2} L}{\partial \dot{q}_{j} \partial \dot{q}_{i}} \ddot{q}_{j}+\sum_{j=1}^{n} \frac{\partial^{2} L}{\partial q_{j} \partial \dot{q}_{i}} \dot{q}_{j}+\frac{\partial^{2} L}{\partial t \partial \dot{q}_{i}}-\frac{\partial L}{\partial q_{i}}=0,\quad i=1,\ldots,n.
  1. Provar que duas lagrangianas \bar{L}(q,\dot{q},t) e L(q,\dot{q},t) geram as mesmas equações de movimento se, e somente se, elas diferem pela derivada total em tempo de uma função F(q,t), isto é,
\bar{L}(q,\dot{q},t)=L(q,\dot{q},t)+\frac{d}{dt}F(q,t).
Informações dadas / úteis:
  • A forma padrão das equações de Lagrange é
\frac{\partial L}{\partial q_i}-\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}\right)=0,\quad i=1,\ldots,n.
  • Vou usar o resultado de cálculo (Apêndice D) que dá a regra da derivada total no tempo de uma função g(q,\dot q,t):
\frac{d}{dt}g(q,\dot q,t)=\sum_{j=1}^n \frac{\partial g}{\partial q_j}\dot q_j+\sum_{j=1}^n\frac{\partial g}{\partial \dot q_j}\ddot q_j+\frac{\partial g}{\partial t}.
  • Não há ambiguidade no enunciado; trata-se de identidades valendo para todos q,\dot q,\ddot q,t.

Passo 2

Derivação da forma explícita das equações de Lagrange (uso do Apêndice D).
Começo da forma usual:
\frac{\partial L}{\partial q_i}-\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}\right)=0.
Vou aplicar a regra da derivada total (Apêndice D) ao termo \dfrac{d}{dt}\!\left(\dfrac{\partial L}{\partial \dot q_i}\right). Aqui a função a ser derivada é g(q,\dot q,t)=\dfrac{\partial L}{\partial \dot q_i}, que depende de (q_1,\dots,q_n), (\dot q_1,\dots,\dot q_n) e t. Pela regra da derivada total:
\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}\right) =\sum_{j=1}^n \frac{\partial}{\partial q_j}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}\right)\dot q_j +\sum_{j=1}^n \frac{\partial}{\partial \dot q_j}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}\right)\ddot q_j +\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}\right).
Agora escrevo cada derivada parcial de segunda ordem de forma explícita: por comutatividade de derivadas parciais,
\frac{\partial}{\partial q_j}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}\right) =\frac{\partial^2 L}{\partial q_j\partial \dot q_i}, \quad \frac{\partial}{\partial \dot q_j}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}\right) =\frac{\partial^2 L}{\partial \dot q_j\partial \dot q_i}, \quad \frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}\right) =\frac{\partial^2 L}{\partial t\partial \dot q_i}.
Substituindo isso na expressão da derivada total obtém-se
\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}\right) =\sum_{j=1}^n \frac{\partial^2 L}{\partial q_j\partial \dot q_i}\,\dot q_j +\sum_{j=1}^n \frac{\partial^2 L}{\partial \dot q_j\partial \dot q_i}\,\ddot q_j +\frac{\partial^2 L}{\partial t\partial \dot q_i}.
Voltando à equação de Lagrange e reorganizando (colocando todos os termos do lado esquerdo):
\frac{\partial L}{\partial q_i} -\left( \sum_{j=1}^n \frac{\partial^2 L}{\partial q_j\partial \dot q_i}\,\dot q_j +\sum_{j=1}^n \frac{\partial^2 L}{\partial \dot q_j\partial \dot q_i}\,\ddot q_j +\frac{\partial^2 L}{\partial t\partial \dot q_i} \right)=0.
Multiplicando por -1 na parte apropriada e reordenando os somatórios, obtenho exatamente a forma pedida:
\sum_{j=1}^{n} \frac{\partial^{2} L}{\partial \dot{q}_{j} \partial \dot{q}_{i}} \ddot{q}_{j} +\sum_{j=1}^{n} \frac{\partial^{2} L}{\partial q_{j} \partial \dot{q}_{i}} \dot{q}_{j} +\frac{\partial^{2} L}{\partial t \partial \dot{q}_{i}}-\frac{\partial L}{\partial q_{i}}=0,
para i=1,\ldots,n. Assim a forma explícita está demonstrada.

Passo 3

Prova da implicação suficiente: se \bar L=L+\dfrac{d}{dt}F(q,t) então \bar L e L geram as mesmas equações de movimento.
Defina F=F(q,t) (função arbitrária das coordenadas generalizadas e do tempo). A derivada total de F é
\frac{d}{dt}F(q,t)=\sum_{k=1}^n \frac{\partial F}{\partial q_k}\dot q_k+\frac{\partial F}{\partial t}.
Calculo os termos que entram na equação de Euler–Lagrange para o acréscimo dF/dt:
  • Derivada parcial em relação a \dot q_i:
\frac{\partial}{\partial \dot q_i}\left(\frac{dF}{dt}\right) =\frac{\partial F}{\partial q_i},
pois só o termo \sum_k (\partial F/\partial q_k)\dot q_k contribui quando se diferencia em relação a \dot q_i.
  • Derivada total no tempo dessa quantidade:
\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial}{\partial \dot q_i}\left(\frac{dF}{dt}\right)\right) =\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial F}{\partial q_i}\right).
  • Derivada parcial de dF/dt em relação a q_i:
\frac{\partial}{\partial q_i}\left(\frac{dF}{dt}\right) =\sum_{j=1}^n \frac{\partial^2 F}{\partial q_i\partial q_j}\dot q_j+\frac{\partial^2 F}{\partial q_i\partial t}.
Mas a direita é exatamente \dfrac{d}{dt}\!\left(\dfrac{\partial F}{\partial q_i}\right) (pela regra da derivada total aplicada a \partial F/\partial q_i). Portanto
\frac{\partial}{\partial q_i}\left(\frac{dF}{dt}\right) -\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial}{\partial \dot q_i}\left(\frac{dF}{dt}\right)\right)=0.
Isto mostra que dF/dt tem contribuição nula às equações de Euler–Lagrange. Consequentemente, se \bar L=L+dF/dt então para todo i
\frac{\partial \bar L}{\partial q_i}-\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \bar L}{\partial \dot q_i}\right) = \left(\frac{\partial L}{\partial q_i}-\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}\right)\right) + 0,
logo as equações de movimento são idênticas. Assim a condição é suficiente.

Passo 4

Prova da implicação necessária: se \bar L e L geram as mesmas equações, então a diferença \Delta L:=\bar L-L é a derivada total de alguma F(q,t).
Comece definindo \Delta L(q,\dot q,t)=\bar L(q,\dot q,t)-L(q,\dot q,t). Pelo enunciado, as equações de Euler–Lagrange para \Delta L são identicamente zero:
\frac{\partial \Delta L}{\partial q_i}-\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \Delta L}{\partial \dot q_i}\right)=0,\qquad i=1,\ldots,n.
Denote
P_i(q,\dot q,t):=\frac{\partial \Delta L}{\partial \dot q_i}.
Aplique a regra da derivada total a P_i:
\frac{d}{dt}P_i =\sum_{j=1}^n \frac{\partial P_i}{\partial q_j}\dot q_j+\sum_{j=1}^n\frac{\partial P_i}{\partial \dot q_j}\ddot q_j+\frac{\partial P_i}{\partial t}.
A igualdade Euler–Lagrange para \Delta L é
\frac{\partial \Delta L}{\partial q_i} -\sum_{j=1}^n \frac{\partial P_i}{\partial q_j}\dot q_j -\sum_{j=1}^n\frac{\partial P_i}{\partial \dot q_j}\ddot q_j -\frac{\partial P_i}{\partial t}=0.
Observe que o termo da soma com \ddot q_j aparece explicitamente; o lado esquerdo deve ser zero para todo \ddot q (as equações valem como identidades em (q,\dot q,\ddot q,t)). Assim, os coeficientes de \ddot q_j devem ser nulos:
\frac{\partial P_i}{\partial \dot q_j}=0\quad\text{para todo }i,j.
Logo cada P_i é independente de \dot q; podemos escrever P_i=P_i(q,t).
Agora use a definição de P_i:
\frac{\partial P_i}{\partial q_j} =\frac{\partial}{\partial q_j}\left(\frac{\partial \Delta L}{\partial \dot q_i}\right) =\frac{\partial^2 \Delta L}{\partial q_j\partial \dot q_i}.
Pela igualdade das derivadas mistas (continuidade das segundas derivadas), essas quantidades são simétricas na troca de i por j, isto é,
\frac{\partial P_i}{\partial q_j}=\frac{\partial P_j}{\partial q_i}.
Isto é exatamente a condição de integrabilidade que garante a existência (local) de uma função F(q,t) tal que
\frac{\partial F}{\partial q_i}=P_i(q,t)\quad\text{para todo }i.
(Geometricamente: o 1-forma \sum_i P_i\,dq_i é fechada, logo localmente exata.)
Calcule agora a diferença \Delta L - \dfrac{d}{dt}F. Primeiro note que
\frac{\partial}{\partial \dot q_i}\left(\frac{dF}{dt}\right)=\frac{\partial F}{\partial q_i}=P_i,
então
\frac{\partial}{\partial \dot q_i}\left(\Delta L-\frac{dF}{dt}\right)=P_i-P_i=0.
Portanto \Delta L-\dfrac{dF}{dt} é independente de \dot q; chame-a de g(q,t):
\Delta L(q,\dot q,t)-\frac{d}{dt}F(q,t)=g(q,t).
Voltemos à condição Euler–Lagrange para \Delta L. Substituindo \Delta L=dF/dt+g(q,t) e lembrando que dF/dt não contribui às E-L (Passo 3), obtemos que g deve satisfazer
\frac{\partial g}{\partial q_i}=0\quad\text{para todo }i,
ou seja, g depende apenas de t: g=g(t).
Finalmente, uma função de t apenas pode ser escrita como derivada total de uma função de t (por ex. g(t)=\dfrac{d}{dt}G(t)). Assim podemos redefinir \tilde F(q,t)=F(q,t)+G(t) e obter
\Delta L(q,\dot q,t)=\frac{d}{dt}\tilde F(q,t).
Portanto, localmente, \bar L-L é a derivada total de uma função \tilde F(q,t). Isso demonstra a necessidade.

Passo 5

Conclusão clara e intuitiva (recapitulando o que foi provado):
  • A escrita explícita das equações de Lagrange decorre diretamente de aplicar a regra da derivada total ao termo \dfrac{d}{dt}\!\left(\dfrac{\partial L}{\partial \dot q_i}\right) e reescrever os termos em derivadas parciais de segunda ordem — chegou-se exatamente à expressão pedida no Passo 2.
  • Duas lagrangianas geram as mesmas equações de movimento se, e somente se, diferem pela derivada total em tempo de alguma função F(q,t). A direção “se” foi mostrada verificando que tal derivada total não contribui para as equações de Euler–Lagrange; a direção “somente se” foi mostrada considerando a diferença das lagrangianas e usando a condição de que a diferença satisfaça as equações de Euler–Lagrange nulas, o que força essa diferença a ser uma derivada total.

Resposta

\sum_{j=1}^{n} \frac{\partial^{2} L}{\partial \dot{q}_{j} \partial \dot{q}_{i}} \ddot{q}_{j}+\sum_{j=1}^{n} \frac{\partial^{2} L}{\partial q_{j} \partial \dot{q}_{i}} \dot{q}_{j}+\frac{\partial^{2} L}{\partial t \partial \dot{q}_{i}}-\frac{\partial L}{\partial q_{i}}=0,\quad i=1,\ldots,n.
\bar{L}(q,\dot q,t)\\ \text{e}\\ L(q,\dot q,t)\\ \text{geram as mesmas equações de movimento} \iff \bar{L}(q,\dot q,t)=L(q,\dot q,t)+\frac{d}{dt}F(q,t)\\ \text{para alguma }F(q,t).çõ

Exercícios relacionados