Mostre que as equações de Lagrange podem ser escritas na forma explícita
Prove que duas lagrangianas
e
geram equações de movimento idênticas se e somente se elas diferem pela derivada total em relação ao tempo de uma função arbitrária das coordenadas generalizadas e do tempo. Você deverá necessitar do resultado contido no Apêndice D.
Passo 1
O problema pede duas coisas claras:
- Mostrar que as equações de Lagrange podem ser escritas explicitamente na forma
- Provar que duas lagrangianas
e geram as mesmas equações de movimento se, e somente se, elas diferem pela derivada total em tempo de uma função , isto é,
Informações dadas / úteis:
- A forma padrão das equações de Lagrange é
- Vou usar o resultado de cálculo (Apêndice D) que dá a regra da derivada total no tempo de uma função
:
- Não há ambiguidade no enunciado; trata-se de identidades valendo para todos
.
Passo 2
Derivação da forma explícita das equações de Lagrange (uso do Apêndice D).
Começo da forma usual:
Vou aplicar a regra da derivada total (Apêndice D) ao termo
. Aqui a função a ser derivada é
, que depende de
,
e
. Pela regra da derivada total:
Agora escrevo cada derivada parcial de segunda ordem de forma explícita: por comutatividade de derivadas parciais,
Substituindo isso na expressão da derivada total obtém-se
Voltando à equação de Lagrange e reorganizando (colocando todos os termos do lado esquerdo):
Multiplicando por
na parte apropriada e reordenando os somatórios, obtenho exatamente a forma pedida:
para
. Assim a forma explícita está demonstrada.
Passo 3
Prova da implicação suficiente: se
então
e
geram as mesmas equações de movimento.
Defina
(função arbitrária das coordenadas generalizadas e do tempo). A derivada total de
é
Calculo os termos que entram na equação de Euler–Lagrange para o acréscimo
:
- Derivada parcial em relação a
:
pois só o termo
contribui quando se diferencia em relação a
.
- Derivada total no tempo dessa quantidade:
- Derivada parcial de
em relação a :
Mas a direita é exatamente
(pela regra da derivada total aplicada a
). Portanto
Isto mostra que
tem contribuição nula às equações de Euler–Lagrange. Consequentemente, se
então para todo
logo as equações de movimento são idênticas. Assim a condição é suficiente.
Passo 4
Prova da implicação necessária: se
e
geram as mesmas equações, então a diferença
é a derivada total de alguma
.
Comece definindo
. Pelo enunciado, as equações de Euler–Lagrange para
são identicamente zero:
Denote
Aplique a regra da derivada total a
:
A igualdade Euler–Lagrange para
é
Observe que o termo da soma com
aparece explicitamente; o lado esquerdo deve ser zero para todo
(as equações valem como identidades em
). Assim, os coeficientes de
devem ser nulos:
Logo cada
é independente de
; podemos escrever
.
Agora use a definição de
:
Pela igualdade das derivadas mistas (continuidade das segundas derivadas), essas quantidades são simétricas na troca de
por
, isto é,
Isto é exatamente a condição de integrabilidade que garante a existência (local) de uma função
tal que
(Geometricamente: o 1-forma
é fechada, logo localmente exata.)
Calcule agora a diferença
. Primeiro note que
então
Portanto
é independente de
; chame-a de
:
Voltemos à condição Euler–Lagrange para
. Substituindo
e lembrando que
não contribui às E-L (Passo 3), obtemos que
deve satisfazer
ou seja,
depende apenas de
:
.
Finalmente, uma função de
apenas pode ser escrita como derivada total de uma função de
(por ex.
). Assim podemos redefinir
e obter
Portanto, localmente,
é a derivada total de uma função
. Isso demonstra a necessidade.
Passo 5
Conclusão clara e intuitiva (recapitulando o que foi provado):
-
A escrita explícita das equações de Lagrange decorre diretamente de aplicar a regra da derivada total ao termo
e reescrever os termos em derivadas parciais de segunda ordem — chegou-se exatamente à expressão pedida no Passo 2. -
Duas lagrangianas geram as mesmas equações de movimento se, e somente se, diferem pela derivada total em tempo de alguma função
. A direção “se” foi mostrada verificando que tal derivada total não contribui para as equações de Euler–Lagrange; a direção “somente se” foi mostrada considerando a diferença das lagrangianas e usando a condição de que a diferença satisfaça as equações de Euler–Lagrange nulas, o que força essa diferença a ser uma derivada total.