Considere a lagrangiana unidimensional L=\dot{x}^{2} / 2-g / x^{2}, com g constante. (i) Mostre que a ação é invariante sob a transformação finita x^{\prime}\left(t^{\prime}\right)=e^{\alpha} x(t), t^{\prime}=e^{2 \alpha} t, onde \alpha é uma constante arbitrária, e conclua, via teorema de Noether, que I=x \dot{x}-2 E t é constante de movimento, com E denotando a energia total. (ii) Prove que a ação é quase-invariante sob a transformação infinitesimal t^{\prime}=t+\epsilon t^{2}, x^{\prime}\left(t^{\prime}\right)=x(t)-\epsilon t x(t) e daí conclua que K=E t^{2}-t x \dot{x}+x^{2} / 2 é constante de movimento. (iii) Combinando os resultados dos itens (i) e (ii) obtenha a solução geral da equação de Lagrange para x(t).

Passo 1

O enunciado dá a lagrangiana unidimensional
L=\frac{\dot{x}^{2}}{2}-\frac{g}{x^{2}},
com g constante. As tarefas são:
  1. Mostrar que a ação é invariante sob a transformação finita
x'(t')=e^{\alpha}x(t),\qquad t'=e^{2\alpha}t,
e, usando o teorema de Noether, concluir que
I=x\dot{x}-2Et
é constante de movimento (onde E é a energia total).
2. Mostrar que a ação é quase-invariante sob a transformação infinitesimal
t'=t+\epsilon t^{2},\qquad x'(t')=x(t)-\epsilon t x(t),
e daí concluir que
K=E t^{2}-t x\dot{x}+\frac{x^{2}}{2}
é constante de movimento.
3. Combinar (i) e (ii) para obter a solução geral x(t) da equação de Lagrange.
Informações relevantes fornecidas: a lagrangiana acima; as duas transformações; pedir as constantes de movimento e a solução da EDO.

Passo 2

(i) Mostrar invariância da ação sob a transformação finita.
Primeiro calculamos como \dot{x} transforma. Partimos da relação x'(t')=e^{\alpha}x(t) com t'=e^{2\alpha}t. Para derivadas,
\dot{x}'(t')=\frac{dx'}{dt'}=\frac{d\big(e^{\alpha}x(t)\big)}{d(e^{2\alpha}t)} =\frac{e^{\alpha}\dot{x}(t)}{e^{2\alpha}}=e^{-\alpha}\dot{x}(t).
Então a lagrangiana transformada (avaliada nas novas variáveis) é
L'(x',\dot{x}',t')=\frac{{\dot{x}'}^{2}}{2}-\frac{g}{{x'}^{2}} =\frac{e^{-2\alpha}\dot{x}^{2}}{2}-\frac{g}{e^{2\alpha}x^{2}} =e^{-2\alpha}\!\left(\frac{\dot{x}^{2}}{2}-\frac{g}{x^{2}}\right) =e^{-2\alpha}L(x,\dot{x},t).
A ação transformada é
S'=\int L'(x',\dot{x}',t')\,dt'=\int e^{-2\alpha}L\,dt'.
Como dt'=e^{2\alpha}dt, obtemos
S'=\int e^{-2\alpha}L\cdot e^{2\alpha}dt=\int L\,dt=S.
Logo a ação é invariante sob a transformação finita dada.

Passo 3

(i) Aplicar Noether para obter I.
Para aproveitar Noether, passamos para a forma infinitesimal da transformação de dilatação: tomar \alpha pequeno e escrever
t'=t+\delta t,\qquad x'(t')=x(t)+\delta x,
com \delta t=2\alpha t e \delta x=\alpha x (forma “passiva” suficiente para aplicar a fórmula de Noether).
O momento canônico é
p\equiv\frac{\partial L}{\partial\dot{x}}=\dot{x}.
A fórmula de Noether para transformações que envolvem tempo é (para variação infinitesimal):
Q = p(\delta x-\dot{x}\,\delta t)+L\,\delta t
é conservado (constante). Substituindo \delta x=\alpha x e \delta t=2\alpha t e dividindo por \alpha obtemos a quantidade conservada (independente de \alpha):
\frac{Q}{\alpha}=p\big(x-2t\dot{x}\big)+2tL =\dot{x}\,x-2t\dot{x}^{2}+2t\Big(\frac{\dot{x}^{2}}{2}-\frac{g}{x^{2}}\Big).
Simplificando:
\frac{Q}{\alpha}=x\dot{x}-t\dot{x}^{2}-2t\frac{g}{x^{2}} =x\dot{x}-2t\Big(\frac{\dot{x}^{2}}{2}+\frac{g}{x^{2}}\Big).
Reconhecendo a energia total
E\equiv\frac{\dot{x}^{2}}{2}+\frac{g}{x^{2}},
obtemos a constante de movimento
I=x\dot{x}-2Et.
Assim concluímos o item (i).

Passo 4

(ii) Mostrar quase-invariância sob a transformação infinitesimal e obter K.
Definimos a transformação infinitesimal por \tau(t)=t^{2} e \eta(t,x)=-t x, isto é
\delta t=\epsilon \tau=\epsilon t^{2},\qquad \delta x=\epsilon \eta=-\epsilon t x.
Para uma transformação variacional que muda a lagrangiana por uma derivada total,
\delta L=\epsilon\frac{dF}{dt},
o teorema de Noether generalizado dá a constante
Q=p(\eta-\dot{x}\tau)+L\tau-F.
Faço duas observações práticas (úteis em provas): (A) podemos determinar F explicitamente calculando \delta L pela fórmula das variações (usando \partial L/\partial x, \partial L/\partial\dot x, etc.) e reconhecer um total temporal; (B) uma maneira mais direta e muitas vezes mais simples é verificar a conservação propondo a candidata K (motivada por simetria conformal) e checando que sua derivada temporal é zero usando as equações de movimento. Vou seguir (B) para ser direto e robusto.
Primeiro computamos a equação de Euler–Lagrange:
\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot{x}}-\frac{\partial L}{\partial x}=0 \quad\Rightarrow\quad \ddot{x}-\frac{2g}{x^{3}}=0.
Agora definimos a função proposta
K=E t^{2}-t x\dot{x}+\frac{x^{2}}{2},
com E como antes. Calculamos a derivada temporal de K:
\frac{dK}{dt}= \dot{E}\,t^{2}+2Et - x\dot{x}-t(\dot{x}^{2}+x\ddot{x})+x\dot{x}.
Aqui cancelei explicitamente os termos x\dot{x} opostos. Note que \dot{E}= \dot{x}\ddot{x}-2g\dot{x}/x^{3} (derivando E=\tfrac{\dot{x}^{2}}{2}+g/x^{2}). Substituo \dot{E} e reorganizo:
\frac{dK}{dt}=t^{2}\big(\dot{x}\ddot{x}-\tfrac{2g\dot{x}}{x^{3}}\big)+2Et -t\dot{x}^{2}-t x\ddot{x}.
Agrupo os termos que multiplicam t^{2} e t:
\frac{dK}{dt}=t^{2}\dot{x}\big(\ddot{x}-\tfrac{2g}{x^{3}}\big)+t\big(2E-\dot{x}^{2}-x\ddot{x}\big).
Usando a equação de movimento \ddot{x}-2g/x^{3}=0 o termo com t^{2} desaparece. Para o termo com t usamos a definição de E:
2E-\dot{x}^{2}-x\ddot{x}= \dot{x}^{2}+2\frac{g}{x^{2}}-\dot{x}^{2}-x\ddot{x} =2\frac{g}{x^{2}}-x\ddot{x}.
Mas pela EOM \ddot{x}=2g/x^{3}, então x\ddot{x}=2g/x^{2} e o termo com t também se anula. Portanto \dfrac{dK}{dt}=0. Assim K é constante de movimento.
Comentários: a demonstração por Noether daria a mesma constante, com um F apropriado (a variação da lagrangiana é um total temporal), e o cálculo direto acima é a verificação “no-mão” que exibe claramente que K é conservado usando a EOM.

Passo 5

(iii) Combinar I e K para obter a solução geral x(t).
Das constantes obtidas temos
I=x\dot{x}-2Et \quad\Rightarrow\quad x\dot{x}=I+2Et.
Substituindo em K:
K=E t^{2}-t x\dot{x}+\frac{x^{2}}{2} =E t^{2}-t(I+2Et)+\frac{x^{2}}{2} =-E t^{2}-tI+\frac{x^{2}}{2}.
Isolando x^{2} obtemos
\frac{x^{2}}{2}=K+E t^{2}+tI \quad\Rightarrow\quad x^{2}=2E t^{2}+2I t+2K.
Portanto a solução geral da equação de Lagrange é
x(t)=\pm\sqrt{\,2E t^{2}+2I t+2K\,},
onde E,I,K são constantes de movimento. Há, porém, uma relação de consistência entre essas constantes que vem de substituir esta expressão de x e \dot{x} de volta na definição de E. Se fizermos isso (ou impondo que as três constantes venham de uma segunda ordem), obtemos a restrição
4 E K = I^{2}+2g,
de modo que, de fato, existem duas constantes independentes (como esperado para uma EDO de segunda ordem).

Resposta

I=x\dot{x}-2Et é constante de movimento.
K=E t^{2}-t x\dot{x}+\dfrac{x^{2}}{2} é constante de movimento.
x(t)=\pm\sqrt{\,2E t^{2}+2I t+2K\,}, com a condição de consistência 4EK=I^{2}+2g.

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