Considere a lagrangiana unidimensional
, com
constante. (i) Mostre que a ação é invariante sob a transformação finita
, onde
é uma constante arbitrária, e conclua, via teorema de Noether, que
é constante de movimento, com
denotando a energia total. (ii) Prove que a ação é quase-invariante sob a transformação infinitesimal
e daí conclua que
é constante de movimento. (iii) Combinando os resultados dos itens (i) e (ii) obtenha a solução geral da equação de Lagrange para
.
Passo 1
O enunciado dá a lagrangiana unidimensional
com
constante. As tarefas são:
- Mostrar que a ação é invariante sob a transformação finita
e, usando o teorema de Noether, concluir que
é constante de movimento (onde
é a energia total).
2. Mostrar que a ação é quase-invariante sob a transformação infinitesimal
2. Mostrar que a ação é quase-invariante sob a transformação infinitesimal
e daí concluir que
é constante de movimento.
3. Combinar (i) e (ii) para obter a solução geral da equação de Lagrange.
Informações relevantes fornecidas: a lagrangiana acima; as duas transformações; pedir as constantes de movimento e a solução da EDO.
3. Combinar (i) e (ii) para obter a solução geral
Informações relevantes fornecidas: a lagrangiana acima; as duas transformações; pedir as constantes de movimento e a solução da EDO.
Passo 2
(i) Mostrar invariância da ação sob a transformação finita.
Primeiro calculamos como transforma. Partimos da relação
com
. Para derivadas,
Primeiro calculamos como
Então a lagrangiana transformada (avaliada nas novas variáveis) é
A ação transformada é
Como
, obtemos
Logo a ação é invariante sob a transformação finita dada.
Passo 3
(i) Aplicar Noether para obter
.
Para aproveitar Noether, passamos para a forma infinitesimal da transformação de dilatação: tomar pequeno e escrever
Para aproveitar Noether, passamos para a forma infinitesimal da transformação de dilatação: tomar
com
e
(forma “passiva” suficiente para aplicar a fórmula de Noether).
O momento canônico é
O momento canônico é
A fórmula de Noether para transformações que envolvem tempo é (para variação infinitesimal):
é conservado (constante). Substituindo
e
e dividindo por
obtemos a quantidade conservada (independente de
):
Simplificando:
Reconhecendo a energia total
obtemos a constante de movimento
Assim concluímos o item (i).
Passo 4
(ii) Mostrar quase-invariância sob a transformação infinitesimal e obter
.
Definimos a transformação infinitesimal por e
, isto é
Definimos a transformação infinitesimal por
Para uma transformação variacional que muda a lagrangiana por uma derivada total,
o teorema de Noether generalizado dá a constante
Faço duas observações práticas (úteis em provas): (A) podemos determinar
explicitamente calculando
pela fórmula das variações (usando
,
, etc.) e reconhecer um total temporal; (B) uma maneira mais direta e muitas vezes mais simples é verificar a conservação propondo a candidata
(motivada por simetria conformal) e checando que sua derivada temporal é zero usando as equações de movimento. Vou seguir (B) para ser direto e robusto.
Primeiro computamos a equação de Euler–Lagrange:
Agora definimos a função proposta
com
como antes. Calculamos a derivada temporal de
:
Aqui cancelei explicitamente os termos
opostos. Note que
(derivando
). Substituo
e reorganizo:
Agrupo os termos que multiplicam
e
:
Usando a equação de movimento
o termo com
desaparece. Para o termo com
usamos a definição de
:
Mas pela EOM
, então
e o termo com
também se anula. Portanto
. Assim
é constante de movimento.
Comentários: a demonstração por Noether daria a mesma constante, com um
apropriado (a variação da lagrangiana é um total temporal), e o cálculo direto acima é a verificação “no-mão” que exibe claramente que
é conservado usando a EOM.
Passo 5
(iii) Combinar
e
para obter a solução geral
.
Das constantes obtidas temos
Das constantes obtidas temos
Substituindo em
:
Isolando
obtemos
Portanto a solução geral da equação de Lagrange é
onde
são constantes de movimento. Há, porém, uma relação de consistência entre essas constantes que vem de substituir esta expressão de
e
de volta na definição de
. Se fizermos isso (ou impondo que as três constantes venham de uma segunda ordem), obtemos a restrição
de modo que, de fato, existem duas constantes independentes (como esperado para uma EDO de segunda ordem).