2 { }^{\text {a }} Questão ( \mathbf{1 , 5} pontos): Qual é a resistividade de um dado material, se um cubo desse material com 10[\mathrm{~cm}] de lado possui uma resistência de 1,5[\mu \Omega] entre faces opostas quando está a uma temperatura de 55\left[{ }^{\circ} \mathrm{C}\right] ? Admita T_{0}=-210\left[{ }^{\circ} \mathrm{C}\right].

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (sem resolver ainda):
  • O enunciado fornece um cubo do material com lado igual a 10\,[\mathrm{cm}].
  • A resistência medida entre faces opostas do cubo é 1{,}5\,[\mu\Omega] quando o cubo está à temperatura 55\left[^{\circ}\mathrm{C}\right].
  • Foi dada a temperatura T_{0}=-210\left[^{\circ}\mathrm{C}\right] (vou anotar isso entre as informações fornecidas).
  • O que o enunciado pede: determinar a resistividade do material (presumivelmente a resistividade correspondente à temperatura em que a resistência foi medida, ou seja, 55\left[^{\circ}\mathrm{C}\right]).

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (aula rapidinha e prática).
  • Resistividade elétrica é uma propriedade intrínseca do material que relaciona a resistência de um condutor com suas dimensões.
  • Para um corpo com corrente fluindo numa direção bem definida, a relação é
R=\rho\frac{L}{A},
onde:
  • R é a resistência elétrica (em ohms, \Omega);
  • \rho é a resistividade do material (em \Omega\!\cdot\!\mathrm{m});
  • L é o comprimento do caminho que a corrente percorre (em metros, m);
  • A é a área da seção transversal perpendicular à corrente (em metros quadrados, \mathrm{m}^2).
Explicando em palavras: se você tem um fio (ou um bloco) do material, a resistência aumenta com o comprimento e diminui quanto maior for a área da seção transversal; a constante de proporcionalidade é a resistividade \rho.

Passo 3

Identificar L e A no problema e converter unidades para o SI.
  • Como são faces opostas de um cubo, a corrente atravessa o cubo numa distância igual ao lado do cubo. Logo:
L = 10\,[\mathrm{cm}].
Converter para metros:
L = 10\\ \mathrm{cm}=0{,}10\\ \mathrm{m}.
  • A seção transversal é um quadrado com lado igual a 10\,[\mathrm{cm}], então
A = (10\,[\mathrm{cm}])^{2}=(0{,}10\\ \mathrm{m})^{2}=0{,}01\\ \mathrm{m}^{2}.
  • A resistência dada é
R=1{,}5\,[\mu\Omega]=1{,}5\times10^{-6}\\ \Omega.
(Conferi as conversões passo a passo para não errar na prova.)

Passo 4

Isolar \rho na fórmula e escrever a expressão que vamos calcular.
A partir de
R=\rho\frac{L}{A},
isola-se \rho:
\rho = R\frac{A}{L}.
Isso é só álgebra básica: multiplica ambos os lados por A/L.

Passo 5

Calcular numericamente \rho com cuidado e mostrar as contas.
Substituindo os valores que já converti:
\rho = \bigl(1{,}5\times10^{-6}\\ \Omega\bigr)\frac{0{,}01\\ \mathrm{m}^{2}}{0{,}10\\ \mathrm{m}}.
Fazendo a multiplicação no numerador:
1{,}5\times10^{-6}\times0{,}01=1{,}5\times10^{-8}.
Agora divide por 0{,}10:
\rho = \frac{1{,}5\times10^{-8}}{0{,}10}=1{,}5\times10^{-7}\\ \Omega\!\cdot\!\mathrm{m}.

Passo 6

Interpretação sobre a temperatura T_{0} que o enunciado forneceu.
  • O valor calculado acima é a resistividade associada à resistência medida a 55\left[^{\circ}\mathrm{C}\right].
  • O enunciado deu uma temperatura T_{0}=-210\left[^{\circ}\mathrm{C}\right] mas não forneceu o coeficiente de temperatura da resistividade (isto é, nenhum \alpha ou valor de \rho em T_{0}). Para relacionar resistividades em duas temperaturas diferentes seria necessário usar uma lei como \rho(T)=\rho(T_{0})\bigl[1+\alpha\,(T-T_{0})\bigr] e conhecer \alpha. Como \alpha não foi dado, não é possível calcular \rho em outra temperatura — portanto o resultado acima é o que se pode determinar com os dados fornecidos.

Resposta

\rho=1{,}5\times10^{-7}\\ \Omega\!\cdot\!\mathrm{m}

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