Um campo de escoamento é definido pelos componentes de velocidade u=(2 x^2) m / s e v=(8 y) m / s, onde x e y estão em metros. Determine a equação da linha de corrente passando pelo ponto ( 2 m, 3 m ).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um campo de escoamento com as velocidades dadas por $ u = 2x^{2} , m/s $ e $ v = 8y , m/s $. O objetivo é encontrar a equação da linha de corrente que passa pelo ponto (2 m, 3 m). Vamos precisar entender o que são linhas de corrente e usar um pouco de cálculo para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma linha de corrente é traçada pelas velocidades do fluido em cada ponto. Matematicamente, isso significa que a inclinação da linha de corrente em qualquer ponto é igual à razão das componentes de velocidade naquele ponto. Ou seja:
dydx = vu

Passo 3

Substituindo as expressões dadas para $ u $ e $ v $:
u

Passo 4

Agora temos uma equação diferencial:
dydx = 4yx^2
Vamos resolver essa equação separando as variáveis. Primeiro, reescrevemos:
dyy = 4x^2 dx

Passo 5

Integrando ambos os lados:
integral 1y dy = integral 4x^2 dx
Isso resulta em:
ln |y| = -4x + C
Onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 6

Para simplificar, podemos reescrever a equação exponenciando ambos os lados:
y = e^-4x + C = e^C cdot e^-4x
Como $ e^{C} $ é apenas uma constante, podemos chamá-la de $ K $:
e^C

Passo 7

Agora, vamos usar o ponto dado (2 m, 3 m) para encontrar o valor de $ K $.
Substituindo $ x = 2 $ e $ y = 3 $:
K
Então:
x = 2

Passo 8

Substituindo $ K $ de volta na equação da linha de corrente:
K

Resposta

A equação da linha de corrente que passa pelo ponto (2 m, 3 m) é:
y = 3 cdot e^2 - 4x

Exercícios relacionados