Um campo de escoamento é definido pelos componentes de velocidade
, onde
e
estão em metros. Determine a equação da linha de corrente passando pelo ponto (
).
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um campo de escoamento com as velocidades dadas por $ u = 2x^{2} , m/s $ e $ v = 8y , m/s $. O objetivo é encontrar a equação da linha de corrente que passa pelo ponto (2 m, 3 m). Vamos precisar entender o que são linhas de corrente e usar um pouco de cálculo para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma linha de corrente é traçada pelas velocidades do fluido em cada ponto. Matematicamente, isso significa que a inclinação da linha de corrente em qualquer ponto é igual à razão das componentes de velocidade naquele ponto. Ou seja:
Passo 3
Substituindo as expressões dadas para $ u $ e $ v $:
Passo 4
Agora temos uma equação diferencial:
Vamos resolver essa equação separando as variáveis. Primeiro, reescrevemos:
Passo 5
Integrando ambos os lados:
Isso resulta em:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 6
Para simplificar, podemos reescrever a equação exponenciando ambos os lados:
Como $ e^{C} $ é apenas uma constante, podemos chamá-la de $ K $:
Passo 7
Agora, vamos usar o ponto dado (2 m, 3 m) para encontrar o valor de $ K $.
Substituindo $ x = 2 $ e $ y = 3 $:
Então:
Passo 8
Substituindo $ K $ de volta na equação da linha de corrente:
Resposta
A equação da linha de corrente que passa pelo ponto (2 m, 3 m) é: