O campo de velocidade de um campo de escoamento bidimensional é definido por u=(14 x) m / s e v=(2 t) m / s, onde x está em metros e t em segundos. Determine a posição (x, y) de uma partícula quando t=2 s, se a partícula passa pelo ponto ( 2 m, 6 m ) quando t=0.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um campo de velocidade bidimensional definido por:
u = (14 x) , m/s e v = (2 t) , m/s
Aqui, $ x $ está em metros e $ t $ em segundos. Queremos descobrir a posição x de uma partícula no tempo $ t = 2 , s $, sabendo que ela estava no ponto t quando $ t = 0 $. Para resolver isso, vamos usar o conceito de campos de velocidade e integrar para encontrar as trajetórias $ x(t) $ e $ y(t) $.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a posição $ x(t) $. Sabemos que a velocidade na direção $ x $ é:
x(t)
Essa é uma equação diferencial que podemos resolver separando as variáveis.

Passo 3

Vamos separar as variáveis e integrar:
dxx = 14 dt
Integrando ambos os lados:
ln|x| = 14 t + C
Onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 4

Agora, resolvemos para $ x $:
x
Podemos escrever $ e^{C} $ como uma nova constante $ C’ $:
x = e^14 t + C = e^C cdot e^14 t

Passo 5

Usamos a condição inicial para encontrar $ C’ $. Sabemos que quando $ t = 0 $, $ x = 2 , m $:
C'
Então, a função $ x(t) $ é:
t = 0

Passo 6

Agora, vamos encontrar a posição $ y(t) $. Sabemos que a velocidade na direção $ y $ é:
y(t)
Essa é uma equação diferencial simples que podemos integrar diretamente.

Passo 7

Integramos a velocidade para encontrar $ y(t) $:
y(t)
Onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 8

Usamos a condição inicial para encontrar $ C $. Sabemos que quando $ t = 0 $, $ y = 6 , m $:
C
Então, a função $ y(t) $ é:
t = 0

Passo 9

Agora, substituímos $ t = 2 , s $ nas funções $ x(t) $ e $ y(t) $ para encontrar a posição no tempo pedido:
t = 2 , s
x(t)

Resposta

A posição da partícula em $ t = 2 , s $ é aproximadamente $ (3,297 , m, 10 , m) $.

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