O campo de velocidade de um campo de escoamento bidimensional é definido por
e
, onde
está em metros e
em segundos. Determine a posição
de uma partícula quando
, se a partícula passa pelo ponto (
) quando
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um campo de velocidade bidimensional definido por:
Aqui, $ x $ está em metros e $ t $ em segundos. Queremos descobrir a posição
de uma partícula no tempo $ t = 2 , s $, sabendo que ela estava no ponto
quando $ t = 0 $. Para resolver isso, vamos usar o conceito de campos de velocidade e integrar para encontrar as trajetórias $ x(t) $ e $ y(t) $.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a posição $ x(t) $. Sabemos que a velocidade na direção $ x $ é:
Essa é uma equação diferencial que podemos resolver separando as variáveis.
Passo 3
Vamos separar as variáveis e integrar:
Integrando ambos os lados:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 4
Agora, resolvemos para $ x $:
Podemos escrever $ e^{C} $ como uma nova constante $ C’ $:
Passo 5
Usamos a condição inicial para encontrar $ C’ $. Sabemos que quando $ t = 0 $, $ x = 2 , m $:
Então, a função $ x(t) $ é:
Passo 6
Agora, vamos encontrar a posição $ y(t) $. Sabemos que a velocidade na direção $ y $ é:
Essa é uma equação diferencial simples que podemos integrar diretamente.
Passo 7
Integramos a velocidade para encontrar $ y(t) $:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 8
Usamos a condição inicial para encontrar $ C $. Sabemos que quando $ t = 0 $, $ y = 6 , m $:
Então, a função $ y(t) $ é:
Passo 9
Agora, substituímos $ t = 2 , s $ nas funções $ x(t) $ e $ y(t) $ para encontrar a posição no tempo pedido:
Resposta
A posição da partícula em $ t = 2 , s $ é aproximadamente $ (3,297 , m, 10 , m) $.