O campo
é conservativo? Justifique.
Passo 1
Beleza, temos um campo vetorial
e queremos saber se ele é conservativo. Isso envolve entender conceitos de cálculo vetorial, como campo conservativo e o rotacional (ou “curl”) de um campo. Para resolver, vamos precisar calcular o rotacional de
e ver se ele é zero.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa um campo vetorial ser conservativo. Um campo é conservativo se existe uma função potencial
tal que
. Uma condição chave para isso é que o rotacional de
seja zero em todo o domínio considerado.
Passo 3
Agora, vamos calcular o rotacional de
, que é dado por:
Passo 4
Vamos calcular cada componente do rotacional:
- Componente
:
Então,
- Componente
:
Então,
- Componente
:
Então,
Passo 5
Depois do cálculo, o rotacional de
é:
Como o rotacional de
é zero em todas as componentes, isso indica que
é um campo conservativo, assumindo que o domínio seja simplesmente conexo (ou seja, sem “buracos”).
Resposta
Sim, o campo
é conservativo porque o rotacional de
é zero.