O campo F=(y senz) i+(x sen z) j+(x y cos z) k é conservativo? Justifique.

Passo 1

Beleza, temos um campo vetorial e queremos saber se ele é conservativo. Isso envolve entender conceitos de cálculo vetorial, como campo conservativo e o rotacional (ou “curl”) de um campo. Para resolver, vamos precisar calcular o rotacional de e ver se ele é zero.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa um campo vetorial ser conservativo. Um campo é conservativo se existe uma função potencial tal que . Uma condição chave para isso é que o rotacional de seja zero em todo o domínio considerado.

Passo 3

Agora, vamos calcular o rotacional de nabla times F = ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z ) i + ( partial Fxpartial z - partial Fzpartial x ) j + ( partial Fypartial x - partial Fxpartial y ) k , que é dado por:

Passo 4

Vamos calcular cada componente do rotacional:
  1. Componente partial Fzpartial y = partial (x y cos z)partial y = x cos z :
partial Fypartial z = partial (x sin z)partial z = x cos z
partial Fzpartial y - partial Fypartial z = x cos z - x cos z = 0
Então,
partial Fxpartial z = partial (y sin z)partial z = y cos z
  1. Componente partial Fzpartial x = partial (x y cos z)partial x = y cos z :
partial Fxpartial z - partial Fzpartial x = y cos z - y cos z = 0
partial Fypartial x = partial (x sin z)partial x = sin z
Então,
partial Fxpartial y = partial (y sin z)partial y = sin z
  1. Componente partial Fypartial x - partial Fxpartial y = sin z - sin z = 0 :
Então,

Passo 5

Depois do cálculo, o rotacional de nabla times F = 0 i + 0 j + 0 k = 0 é:
Como o rotacional de é zero em todas as componentes, isso indica que é um campo conservativo, assumindo que o domínio seja simplesmente conexo (ou seja, sem “buracos”).

Resposta

Sim, o campo é conservativo porque o rotacional de é zero.

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