Em cada um dos Problemas de 13 a 18, encontre a solução do problema de valor inicial dado.
y^prime prime+4 y=t^2+3 e^2, y(0)=0, y^prime(0)=2

Passo 1

O enunciado pede para resolver o PVI y''+4y = t^2+3e^2t, com condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=2. É uma EDO linear de 2ª ordem não homogênea e vamos usar o método dos coeficientes a determinar.

Passo 2

A parte homogênea satisfaz y''+4y=0. A equação característica é r^2+4=0 com raízes r=pm2i, logo
yh = C1cos(2t)+C2sin(2t)

Passo 3

Para a parte particular, o termo não homogêneo é soma de polinômio grau 2 e exponencial. Proponho
yp = At^2 + Bt + C + D e^2t

Passo 4

Seja p(t)=At^2+Bt+C. Então p''=2A e
p''+4p = 2A +4(At^2+Bt+C) = 4A t^2 + 4B t + (4C+2A)

Passo 5

Igualando à parte polinomial de t^2+3e^2t (isto é, a t^2), obtemos
4A=1, 4B=0, 4C+2A=0,

Passo 6

cuja solução é A=1/4, B=0, C=-1/8.

Passo 7

Para a exponencial, seja q(t)=D e^2t. Então
q+4q = (4D+4D)e^2t = 8D e^2t,
e igualando a 3e^2t 8D=3, logo D=3/8.

Passo 8

A solução geral é
y = C1cos(2t)+C2sin(2t)+t^24-18+38e^2t

Passo 9

Calculamos a derivada
y' = -2C1sin(2t)+2C2cos(2t)+12t+34e^2t,

Passo 10

e aplicamos as condições iniciais: em t=0
y(0)=C1+0-tfrac18+tfrac38=0implies C1=-tfrac14,

Passo 11

y'(0)=0+2C2+0+tfrac34=2implies C2=tfrac58

Resposta

y(t) = -tfrac14cos(2t) + tfrac58sin(2t) + tfract^24 - tfrac18 + tfrac38e^2t

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