Em cada um dos Problemas de 13 a 18, encontre a solução do problema de valor inicial dado.
Passo 1
O enunciado pede resolver a EDO linear de 2ª ordem com coeficientes constantes
com condições iniciais
Passo 2
Para achar a solução homogênea, montamos a equação característica
que tem raiz dupla
Passo 3
Para a parte
do termo não-homogêneo usamos o ansatz de coeficientes a determinar. Como o fator
corresponde à raiz
de multiplicidade 2, multiplicamos por
. Então propomos
$$y_{p1}(t) = t^2(at + b)e^t.
queremos
$$u’’(t)e^t = t e^t \
a u’’(t)=t.
6a t + 2b = t \ 6a=1,,2b=0 \ a=\tfrac16,,b=0.
Passo 4
Para a parte constante 4 usamos um particular constante
. Substituindo em
obtemos
Passo 5
A solução geral é soma da homogênea com as particulares:
Passo 6
Agora calculamos a derivada
$$y’(t)=\bigl(C_2 + C_1 + C_2 t + \tfrac{t^2}{2} + \tfrac{t3}{6}\bigr)et.
$$
Em :
- dá
.
- dá
.
Em
-
-
Resposta
A solução do problema de valor inicial é