Em cada um dos Problemas de 13 a 18, encontre a solução do problema de valor inicial dado.
y^prime prime-2 y^prime+y=t e^prime+4, y(0)=1, y^prime(0)=1

Passo 1

O enunciado pede resolver a EDO linear de 2ª ordem com coeficientes constantes
y''-2y'+y = t e^t + 4,
com condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=1. Vamos usar o método de solução geral: achar a parte homogênea, depois uma particular e, por fim, ajustar as constantes pelos dados iniciais.

Passo 2

Para achar a solução homogênea, montamos a equação característica
r^2 - 2r + 1 = 0 iff (r-1)^2 = 0,
que tem raiz dupla r=1. Logo
yh(t) = (C1 + C2 t)e^t

Passo 3

Para a parte t e^t do termo não-homogêneo usamos o ansatz de coeficientes a determinar. Como o fator e^t corresponde à raiz r=1 de multiplicidade 2, multiplicamos por t^2. Então propomos
$$y_{p1}(t) = t^2(at + b)e^t.
yp1(t) = t^2(at + b)e^t L[y]=y’’-2y’+y = u’’(t)e^t,$$
queremos
$$u’’(t)e^t = t e^t \
a u’’(t)=t. u(t)=t^2(at+b)ãá6a t + 2b = t \ 6a=1,,2b=0 \ a=\tfrac16,,b=0.
y=u e^ty_{p1}(t)=\frac{t3}{6}et.$$

Passo 4

Para a parte constante 4 usamos um particular constante yp2=K. Substituindo em y''-2y'+y=4 obtemos
K = 4 implies yp2=4

Passo 5

A solução geral é soma da homogênea com as particulares:
y(t)=(C1 + C2 t)e^t + t^36e^t +4

Passo 6

Agora calculamos a derivada
$$y’(t)=\bigl(C_2 + C_1 + C_2 t + \tfrac{t^2}{2} + \tfrac{t3}{6}\bigr)et.
$$
Em y'(t)=l(C2 + C1 + C2 t + tfract^22 + tfract^36r)e^t :
- t=0 y(0)=C1+4=1.
- C1=-3 y'(0)=C2+C1=1.

Resposta

A solução do problema de valor inicial é
y(t)=l(4t-3+tfract^36r)e^t+4

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