O campo de força que age sobre um oscilador linear bidimensional pode ser escrito como \boldsymbol{F}=-k x \hat{\boldsymbol{x}}-k y \hat{\boldsymbol{y}}. Compare o trabalho realizado movimentando-se conte esse campo de força entre os pontos ( 1,1 ) e (44) pelos seguintes caminhos:
(1,1) \rightarrow(1,4) \rightarrow(4,4)

Passo 1

O enunciado dá o campo de força e pede o trabalho realizado pelo campo ao mover uma partícula do ponto (1,1) até o ponto (4,4) seguindo o caminho (1,1)\to(1,4)\to(4,4). Informações relevantes fornecidas:
  • O campo de força é \boldsymbol{F} = -k x\,\hat{\boldsymbol{x}} - k y\,\hat{\boldsymbol{y}}.
  • Ponto inicial: (x_i,y_i) = (1,1).
  • Ponto final: (x_f,y_f) = (4,4).
    A pergunta prática: qual é o trabalho W realizado pelo campo quando a partícula se desloca entre esses pontos pelo caminho indicado?

Passo 2

Primeiro vamos verificar se o campo é conservativo (isso determina se o trabalho depende do caminho ou só dos pontos finais). Para um campo planar \boldsymbol{F}=(F_x(x,y),F_y(x,y)) uma condição simples é checar se
\frac{\partial F_x}{\partial y}=\frac{\partial F_y}{\partial x}.
Aqui temos F_x(x,y)=-k x e F_y(x,y)=-k y. Calculando as derivadas parciais:
\frac{\partial F_x}{\partial y}=0,\qquad \frac{\partial F_y}{\partial x}=0.
Como são iguais, o campo é conservativo (num domínio simplesmente conexo, o que é o caso aqui). Isso significa que existe uma função potencial U(x,y) tal que
\boldsymbol{F}=-\nabla U.
Vamos encontrar U. A relação \boldsymbol{F}=-\nabla U dá as equações
-\frac{\partial U}{\partial x}=-k x\quad\Rightarrow\quad \frac{\partial U}{\partial x}=k x,
-\frac{\partial U}{\partial y}=-k y\quad\Rightarrow\quad \frac{\partial U}{\partial y}=k y.
Integramos \partial U/\partial x = k x em relação a x:
U(x,y)=\frac{1}{2}k x^2 + g(y),
onde g(y) é uma “constante” de integração que pode depender de y. Diferenciando essa expressão em relação a y e igualando a k y obtemos g'(y)=k y, portanto
g(y)=\frac{1}{2}k y^2 + C.
Logo uma escolha conveniente para o potencial é
U(x,y)=\frac{1}{2}k\bigl(x^2+y^2\bigr)+C.
O termo constante C não altera forças nem trabalhos entre pontos, então podemos tomar C=0 para simplicidade:
U(x,y)=\frac{1}{2}k\bigl(x^2+y^2\bigr).

Passo 3

Para um campo conservativo, o trabalho realizado pela força ao deslocar-se do ponto A ao ponto B é igual a menos a variação da energia potencial:
W_{A\to B} = -\bigl(U(B)-U(A)\bigr) = U(A)-U(B).
Aqui A=(1,1) e B=(4,4). Calculemos U em cada ponto:
U(1,1)=\frac{1}{2}k\bigl(1^2+1^2\bigr)=\frac{1}{2}k\cdot 2 = k,
U(4,4)=\frac{1}{2}k\bigl(4^2+4^2\bigr)=\frac{1}{2}k\cdot 32 = 16k.
Portanto o trabalho é
W = U(1,1)-U(4,4)=k-16k=-15k.
Interpretação rápida: o trabalho é negativo ( -15k), ou seja, a força realiza trabalho negativo ao mover a partícula de (1,1) para (4,4); isso faz sentido porque o potencial aumenta ao ir de (1,1) para (4,4).

Passo 4

Para fixar a ideia, vamos calcular o mesmo trabalho explicitamente como integral de linha ao longo do caminho pedido e confirmar o resultado (isso também ensina como proceder na prova quando pedirem cálculo direto).
O caminho tem duas parcelas:
  1. Segmento (1,1)\to(1,4): aqui x=1 fixo e y varia de 1 a 4. O deslocamento é d\boldsymbol{r}=dy\,\hat{\boldsymbol{y}}. O produto escalar é
\boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{r}=F_y\,dy = (-k y)\,dy.
Integrando:
W_1=\int_{y=1}^{y=4} (-k y)\,dy = -k\left[\tfrac{1}{2}y^2\right]_{1}^{4} = -k\left(\tfrac{1}{2}(16-1)\right) = -\tfrac{15}{2}k.
  1. Segmento (1,4)\to(4,4): aqui y=4 fixo e x varia de 1 a 4. O deslocamento é d\boldsymbol{r}=dx\,\hat{\boldsymbol{x}}. O produto escalar é
\boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{r}=F_x\,dx = (-k x)\,dx.
Integrando:
W_2=\int_{x=1}^{x=4} (-k x)\,dx = -k\left[\tfrac{1}{2}x^2\right]_{1}^{4} = -k\left(\tfrac{1}{2}(16-1)\right) = -\tfrac{15}{2}k.
Somando os dois segmentos:
W=W_1+W_2 = -\tfrac{15}{2}k -\tfrac{15}{2}k = -15k,
que coincide com o resultado obtido pelo potencial. Isso confirma a independência do caminho e mostra passo a passo como avaliar a integral de linha.

Passo 5

Resumo e dica de prova: sempre que o campo puder ser escrito como \boldsymbol{F}=-\nabla U, calcule U (ou verifique a condição de conservatividade) e use W=U(A)-U(B). Se a condição de conservatividade não for óbvia, calcule \partial F_x/\partial y e \partial F_y/\partial x para checar. No caso concreto, U(x,y)=\tfrac{1}{2}k(x^2+y^2) e o trabalho entre (1,1) e (4,4) é -15k.

Resposta

-15k

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