O campo de força que age sobre um oscilador linear bidimensional pode ser escrito como
. Compare o trabalho realizado movimentando-se conte esse campo de força entre os pontos ( 1,1 ) e (44) pelos seguintes caminhos:
Passo 1
O enunciado dá o campo de força e pede o trabalho realizado pelo campo ao mover uma partícula do ponto
até o ponto
seguindo o caminho
. Informações relevantes fornecidas:
- O campo de força é
. - Ponto inicial:
. - Ponto final:
.
A pergunta prática: qual é o trabalhorealizado pelo campo quando a partícula se desloca entre esses pontos pelo caminho indicado?
Passo 2
Primeiro vamos verificar se o campo é conservativo (isso determina se o trabalho depende do caminho ou só dos pontos finais). Para um campo planar
uma condição simples é checar se
Aqui temos
e
. Calculando as derivadas parciais:
Como são iguais, o campo é conservativo (num domínio simplesmente conexo, o que é o caso aqui). Isso significa que existe uma função potencial
tal que
Vamos encontrar
. A relação
dá as equações
Integramos
em relação a
:
onde
é uma “constante” de integração que pode depender de
. Diferenciando essa expressão em relação a
e igualando a
obtemos
, portanto
Logo uma escolha conveniente para o potencial é
O termo constante
não altera forças nem trabalhos entre pontos, então podemos tomar
para simplicidade:
Passo 3
Para um campo conservativo, o trabalho realizado pela força ao deslocar-se do ponto
ao ponto
é igual a menos a variação da energia potencial:
Aqui
e
. Calculemos
em cada ponto:
Portanto o trabalho é
Interpretação rápida: o trabalho é negativo (
), ou seja, a força realiza trabalho negativo ao mover a partícula de
para
; isso faz sentido porque o potencial aumenta ao ir de
para
.
Passo 4
Para fixar a ideia, vamos calcular o mesmo trabalho explicitamente como integral de linha ao longo do caminho pedido e confirmar o resultado (isso também ensina como proceder na prova quando pedirem cálculo direto).
O caminho tem duas parcelas:
O caminho tem duas parcelas:
- Segmento
: aqui fixo e varia de a . O deslocamento é . O produto escalar é
Integrando:
- Segmento
: aqui fixo e varia de a . O deslocamento é . O produto escalar é
Integrando:
Somando os dois segmentos:
que coincide com o resultado obtido pelo potencial. Isso confirma a independência do caminho e mostra passo a passo como avaliar a integral de linha.
Passo 5
Resumo e dica de prova: sempre que o campo puder ser escrito como
, calcule
(ou verifique a condição de conservatividade) e use
. Se a condição de conservatividade não for óbvia, calcule
e
para checar. No caso concreto,
e o trabalho entre
e
é
.