Problema 3 Um bloco cúbico de madeira, com aresta de 10 cm , flutua em água doce (
). Observa-se que 70% do volume do bloco está submerso.
(a) Qual é a densidade da madeira?
(b) Qual é a força de empuxo que a água exerce sobre o bloco?
(c) Se o mesmo bloco for colocado em óleo com densidade
, ele flutuará ou afundará? Justifique.
(a) Qual é a densidade da madeira?
(b) Qual é a força de empuxo que a água exerce sobre o bloco?
(c) Se o mesmo bloco for colocado em óleo com densidade
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que é pedido.
Dados fornecidos:
- Um bloco cúbico de madeira com aresta
. (Converte-se para metros: .) - Em água doce com densidade
observa-se que do volume do bloco está submerso. - Dado adicional para a parte (c): densidade do óleo
.
O enunciado pede:
(a) Qual é a densidade da madeira?
(b) Qual é a força de empuxo que a água exerce sobre o bloco?
(c) Se o mesmo bloco for colocado no óleo com , ele flutuará ou afundará? Justifique.
(a) Qual é a densidade da madeira?
(b) Qual é a força de empuxo que a água exerce sobre o bloco?
(c) Se o mesmo bloco for colocado no óleo com
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadinhos, passo a passo):
- Densidade: a densidade
de um material é a massa dividida pelo volume :
Aqui
tem unidade
,
em
e
em
.
- Peso do bloco: a força peso
é a massa vezes a aceleração da gravidade :
Como
, também podemos escrever
onde
vale aproximadamente
.
- Empuxo (princípio de Arquimedes): a força de empuxo
que um fluido exerce sobre um corpo imerso é igual ao peso do fluido deslocado:
onde
é a densidade do fluido (água ou óleo) e
é o volume do corpo que está submerso no fluido.
- Condição de equilíbrio de um corpo que flutua (não afunda nem sobe): o empuxo iguala o peso do corpo:
Ou seja,
Cancelando
obtemos a relação útil
A fração
é a fração do volume submerso (por exemplo
para
).
Explicando em palavras: para flutuar, o fluido precisa empurrar o corpo para cima com uma força igual ao seu peso; a força que o fluido pode exercer depende de quanto fluido é deslocado (ou seja, do volume submerso) e da densidade do fluido.
Passo 3
Resolução do item (a): densidade da madeira.
Usando a relação do Passo 2:
Pelo enunciado
e
. Substituindo:
Calculando:
Comentário didático: isso tem sentido físico — se
do volume está submerso significa que a madeira precisa de menos massa por volume que a água; a densidade da madeira é
da água.
Passo 4
Resolução do item (b): força de empuxo que a água exerce sobre o bloco.
Primeiro calculemos o volume total do cubo. Aresta
, então
Volume submerso (70%):
Agora aplicamos a fórmula do empuxo:
Substituindo
,
e
:
Calculando:
Observação: como o bloco está em equilíbrio flutuando, esse empuxo é igual ao peso do bloco; dá para conferir calculando
, compatível.
Passo 5
Resolução do item (c): comportamento do bloco no óleo com
.
Regra para saber se flutua ou afunda: se a densidade do corpo
for menor que a densidade do fluido
, existe uma fração de volume submerso tal que o empuxo compense o peso, logo o corpo flutua. Se
não há volume submerso que gere empuxo suficiente e o corpo afunda.
Aqui já encontramos
e
. Como
a madeira é menos densa que o óleo, portanto o bloco vai flutuar no óleo.
Para dar uma justificativa quantitativa (útil na prova): a fração submersa necessária no óleo é
Isso significa que
do volume ficará submerso quando o bloco flutuar no óleo. Como essa fração é menor ou igual a
, é possível flutuar; portanto o bloco não afunda.
Comentário físico-intuitivo: o óleo é menos denso que a água, então para suportar o mesmo peso a madeira precisa deslocar uma fração maior do seu volume (daí 87,5% em óleo contra 70% em água). Mesmo assim, não precisa deslocar todo o volume, logo flutua.
Resposta
(a)
(b)
(c) Flutuará. Fração submersa no óleo:
(ou
).