Problema 3 Um bloco cúbico de madeira, com aresta de 10 cm , flutua em água doce ( \rho_{\text {água }}=1000 \mathrm{~kg} \mathrm{~m}^{-3}á ). Observa-se que 70% do volume do bloco está submerso.
(a) Qual é a densidade da madeira?
(b) Qual é a força de empuxo que a água exerce sobre o bloco?
(c) Se o mesmo bloco for colocado em óleo com densidade \rho_{\text {óleo }}=800 \mathrm{~kg} \mathrm{~m}^{-3}ó, ele flutuará ou afundará? Justifique.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que é pedido.
Dados fornecidos:
  • Um bloco cúbico de madeira com aresta 10\\ \mathrm{cm}. (Converte-se para metros: 10\\ \mathrm{cm}=0,10\\ \mathrm{m}.)
  • Em água doce com densidade \rho_{\text{água}}=1000\\ \mathrm{kg\,m^{-3}}á observa-se que 70\% do volume do bloco está submerso.
  • Dado adicional para a parte (c): densidade do óleo \rho_{\text{óleo}}=800\\ \mathrm{kg\,m^{-3}}ó.
O enunciado pede:
(a) Qual é a densidade da madeira?
(b) Qual é a força de empuxo que a água exerce sobre o bloco?
(c) Se o mesmo bloco for colocado no óleo com \rho_{\text{óleo}}=800\\ \mathrm{kg\,m^{-3}}ó, ele flutuará ou afundará? Justifique.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadinhos, passo a passo):
  1. Densidade: a densidade \rho de um material é a massa m dividida pelo volume V:
\rho=\frac{m}{V}.
Aqui \rho tem unidade \mathrm{kg\,m^{-3}}, m em \mathrm{kg} e V em \mathrm{m^{3}}.
  1. Peso do bloco: a força peso P é a massa vezes a aceleração da gravidade g:
P=m\,g.
Como m=\rho V, também podemos escrever
P=\rho V g,
onde g vale aproximadamente 9,8\\ \mathrm{m\,s^{-2}}.
  1. Empuxo (princípio de Arquimedes): a força de empuxo E que um fluido exerce sobre um corpo imerso é igual ao peso do fluido deslocado:
E=\rho_{\text{fluido}}\,V_{\text{sub}}\,g,
onde \rho_{\text{fluido}} é a densidade do fluido (água ou óleo) e V_{\text{sub}} é o volume do corpo que está submerso no fluido.
  1. Condição de equilíbrio de um corpo que flutua (não afunda nem sobe): o empuxo iguala o peso do corpo:
E=P.
Ou seja,
\rho_{\text{fluido}}\,V_{\text{sub}}\,g=\rho_{\text{corpo}}\,V_{\text{total}}\,g.
Cancelando g obtemos a relação útil
\rho_{\text{corpo}}=\rho_{\text{fluido}}\cdot\frac{V_{\text{sub}}}{V_{\text{total}}}.
A fração V_{\text{sub}}/V_{\text{total}} é a fração do volume submerso (por exemplo 0,70 para 70\%).
Explicando em palavras: para flutuar, o fluido precisa empurrar o corpo para cima com uma força igual ao seu peso; a força que o fluido pode exercer depende de quanto fluido é deslocado (ou seja, do volume submerso) e da densidade do fluido.

Passo 3

Resolução do item (a): densidade da madeira.
Usando a relação do Passo 2:
\rho_{\text{madeira}}=\rho_{\text{água}}\cdot\frac{V_{\text{sub}}}{V_{\text{total}}}.á
Pelo enunciado V_{\text{sub}}/V_{\text{total}}=0,70 e \rho_{\text{água}}=1000\\ \mathrm{kg\,m^{-3}}á. Substituindo:
\rho_{\text{madeira}}=1000\\ \mathrm{kg\,m^{-3}}\times 0,70.
Calculando:
\rho_{\text{madeira}}=700\\ \mathrm{kg\,m^{-3}}.
Comentário didático: isso tem sentido físico — se 70\% do volume está submerso significa que a madeira precisa de menos massa por volume que a água; a densidade da madeira é 70\% da água.

Passo 4

Resolução do item (b): força de empuxo que a água exerce sobre o bloco.
Primeiro calculemos o volume total do cubo. Aresta a=0,10\\ \mathrm{m}, então
V_{\text{total}}=a^{3}=(0,10\\ \mathrm{m})^{3}=0,001\\ \mathrm{m^{3}}.
Volume submerso (70%):
V_{\text{sub}}=0,70\times V_{\text{total}}=0,70\times 0,001\\ \mathrm{m^{3}}=0,0007\\ \mathrm{m^{3}}.
Agora aplicamos a fórmula do empuxo:
E=\rho_{\text{água}}\,V_{\text{sub}}\,g.á
Substituindo \rho_{\text{água}}=1000\\ \mathrm{kg\,m^{-3}}á, V_{\text{sub}}=0,0007\\ \mathrm{m^{3}} e g=9,8\\ \mathrm{m\,s^{-2}}:
E=1000\times 0,0007\times 9,8\\ \mathrm{N}.
Calculando:
E=1000\times 0,0007\times 9,8=6,86\\ \mathrm{N}.
Observação: como o bloco está em equilíbrio flutuando, esse empuxo é igual ao peso do bloco; dá para conferir calculando P=\rho_{\text{madeira}}V_{\text{total}}g=700\times0,001\times9,8=6,86\\ \mathrm{N}, compatível.

Passo 5

Resolução do item (c): comportamento do bloco no óleo com \rho_{\text{óleo}}=800\\ \mathrm{kg\,m^{-3}}ó.
Regra para saber se flutua ou afunda: se a densidade do corpo \rho_{\text{corpo}} for menor que a densidade do fluido \rho_{\text{fluido}}, existe uma fração de volume submerso tal que o empuxo compense o peso, logo o corpo flutua. Se \rho_{\text{corpo}}>\rho_{\text{fluido}} não há volume submerso que gere empuxo suficiente e o corpo afunda.
Aqui já encontramos \rho_{\text{madeira}}=700\\ \mathrm{kg\,m^{-3}} e \rho_{\text{óleo}}=800\\ \mathrm{kg\,m^{-3}}ó. Como
700\\ \mathrm{kg\,m^{-3}}<800\\ \mathrm{kg\,m^{-3}},
a madeira é menos densa que o óleo, portanto o bloco vai flutuar no óleo.
Para dar uma justificativa quantitativa (útil na prova): a fração submersa necessária no óleo é
\frac{V_{\text{sub,óleo}}}{V_{\text{total}}}=\frac{\rho_{\text{madeira}}}{\rho_{\text{óleo}}}=\frac{700}{800}=0,875.óó
Isso significa que 87{,}5\% do volume ficará submerso quando o bloco flutuar no óleo. Como essa fração é menor ou igual a 1, é possível flutuar; portanto o bloco não afunda.
Comentário físico-intuitivo: o óleo é menos denso que a água, então para suportar o mesmo peso a madeira precisa deslocar uma fração maior do seu volume (daí 87,5% em óleo contra 70% em água). Mesmo assim, não precisa deslocar todo o volume, logo flutua.

Resposta

(a) \rho_{\text{madeira}}=700\\ \mathrm{kg\,m^{-3}}
(b) E=6,86\\ \mathrm{N}
(c) Flutuará. Fração submersa no óleo: 87{,}5\% (ou 0,875).

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