Demonstre que
para qualquer função
e campo vetorial
. Em seguida, use este resultado para calcular a integral
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Demonstrar a identidade
para qualquer função
e campo vetorial
.
- Usar essa identidade para calcular
Informações relevantes fornecidas ou necessárias:
-
é uma função escalar (a usar depois: ). -
é um campo vetorial (a usar depois: ). -
denota integral de superfície sobre a fronteira de . - Usaremos a regra do divergente para produto escalar e o teorema da divergência (Gauss).
Passo 2
Regra do divergente aplicada ao produto de um escalar
por um vetor
. A identidade vetorial de produto escalares diz:
Explicando: o divergente do produto
produz duas parcelas: uma em que o divergente “age” sobre
mantendo
fora, e outra em que o gradiente de
aparece em produto escalar com
.
Passo 3
Integramos a identidade anterior sobre o volume
. Pela linearidade da integral,
Agora aplicamos o teorema da divergência (Gauss), que afirma que a integral do divergente de um campo sobre um volume é igual à integral de fluxo desse campo pela superfície que limita o volume:
Substituindo na igualdade anterior e isolando o termo desejado obtemos
Rearranjando,
que é exatamente a identidade pedida. (Fim da demonstração da identidade.)
Passo 4
Agora aplicamos a identidade com
Usando a fórmula já demonstrada,
Passo 5
Calculemos cada termo separadamente. Primeiro o gradiente de
:
Explicando:
e derivando em
obtemos
.
Portanto o produto interno
Logo o primeiro termo do lado direito é
Passo 6
Escolhemos
como a bola de raio
centrada na origem (se o enunciado não especificou
, essa escolha é natural para tratar singularidade na origem e depois ver o resultado limite). Em coordenadas esféricas:
onde
é o elemento de ângulo sólido e
. Assim
A integral radial é
logo
Passo 7
Agora o termo de superfície sobre a esfera de raio
. A superfície é
e o elemento de área é
. Então
Passo 8
Somando os dois termos (Passos 6 e 7) obtemos
Observe que o resultado é independente de
. Isso mostra que, desde que
contenha a origem (a singularidade do campo
), o valor da integral é
. Se o volume
não contiver a origem, a função
vale zero em todo
e a integral é zero. Outra forma curta de ver isso é reconhecer a identidade distribuicional
que ao multiplicar por
e integrar dá
se a origem estiver dentro de
.