Demonstre que
\int_{V} f(\boldsymbol{\nabla} \cdot \boldsymbol{A}) d \tau=-\int_{V} \boldsymbol{A} \cdot(\boldsymbol{\nabla} f) d \tau+\oint f \boldsymbol{A} \cdot d \boldsymbol{a}
para qualquer função f e campo vetorial \boldsymbol{A}. Em seguida, use este resultado para calcular a integral
\int_{V} e^{-r} \boldsymbol{\nabla} \cdot \frac{\hat{\boldsymbol{r}}}{r^{2}} d \tau

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Demonstrar a identidade
\int_{V} f(\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{A})\,d\tau=-\int_{V}\boldsymbol{A}\cdot(\boldsymbol{\nabla} f)\,d\tau+\oint_{\partial V} f\boldsymbol{A}\cdot d\boldsymbol{a}
para qualquer função f e campo vetorial \boldsymbol{A}.
  • Usar essa identidade para calcular
\int_{V} e^{-r}\,\boldsymbol{\nabla}\cdot\frac{\hat{\boldsymbol{r}}}{r^{2}}\,d\tau.
Informações relevantes fornecidas ou necessárias:
  • f é uma função escalar (a usar depois: f(\boldsymbol{r})=e^{-r}).
  • \boldsymbol{A} é um campo vetorial (a usar depois: \boldsymbol{A}=\dfrac{\hat{\boldsymbol{r}}}{r^{2}}).
  • \oint_{\partial V} denota integral de superfície sobre a fronteira \partial V de V.
  • Usaremos a regra do divergente para produto escalar e o teorema da divergência (Gauss).

Passo 2

Regra do divergente aplicada ao produto de um escalar f por um vetor \boldsymbol{A}. A identidade vetorial de produto escalares diz:
\boldsymbol{\nabla}\cdot(f\boldsymbol{A}) = f(\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{A}) + \boldsymbol{A}\cdot(\boldsymbol{\nabla} f).
Explicando: o divergente do produto f\boldsymbol{A} produz duas parcelas: uma em que o divergente “age” sobre \boldsymbol{A} mantendo f fora, e outra em que o gradiente de f aparece em produto escalar com \boldsymbol{A}.

Passo 3

Integramos a identidade anterior sobre o volume V. Pela linearidade da integral,
\int_{V}\boldsymbol{\nabla}\cdot(f\boldsymbol{A})\,d\tau = \int_{V} f(\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{A})\,d\tau + \int_{V}\boldsymbol{A}\cdot(\boldsymbol{\nabla} f)\,d\tau.
Agora aplicamos o teorema da divergência (Gauss), que afirma que a integral do divergente de um campo sobre um volume é igual à integral de fluxo desse campo pela superfície que limita o volume:
\int_{V}\boldsymbol{\nabla}\cdot(f\boldsymbol{A})\,d\tau = \oint_{\partial V} f\boldsymbol{A}\cdot d\boldsymbol{a}.
Substituindo na igualdade anterior e isolando o termo desejado obtemos
\oint_{\partial V} f\boldsymbol{A}\cdot d\boldsymbol{a} = \int_{V} f(\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{A})\,d\tau + \int_{V}\boldsymbol{A}\cdot(\boldsymbol{\nabla} f)\,d\tau.
Rearranjando,
\int_{V} f(\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{A})\,d\tau = -\int_{V}\boldsymbol{A}\cdot(\boldsymbol{\nabla} f)\,d\tau + \oint_{\partial V} f\boldsymbol{A}\cdot d\boldsymbol{a},
que é exatamente a identidade pedida. (Fim da demonstração da identidade.)

Passo 4

Agora aplicamos a identidade com
f(\boldsymbol{r}) = e^{-r},\qquad \boldsymbol{A}(\boldsymbol{r})=\frac{\hat{\boldsymbol{r}}}{r^{2}}.
Usando a fórmula já demonstrada,
\int_{V} e^{-r}\,\boldsymbol{\nabla}\cdot\frac{\hat{\boldsymbol{r}}}{r^{2}}\,d\tau = -\int_{V}\frac{\hat{\boldsymbol{r}}}{r^{2}}\cdot\boldsymbol{\nabla}(e^{-r})\,d\tau +\oint_{\partial V} e^{-r}\frac{\hat{\boldsymbol{r}}}{r^{2}}\cdot d\boldsymbol{a}.

Passo 5

Calculemos cada termo separadamente. Primeiro o gradiente de f:
\boldsymbol{\nabla}(e^{-r}) = \frac{d}{dr}(e^{-r})\,\boldsymbol{\nabla} r = (-e^{-r})\,\hat{\boldsymbol{r}}.
Explicando: \nabla r=\hat{\boldsymbol{r}} e derivando em r obtemos -e^{-r}.
Portanto o produto interno
\frac{\hat{\boldsymbol{r}}}{r^{2}}\cdot\boldsymbol{\nabla}(e^{-r}) = \frac{\hat{\boldsymbol{r}}}{r^{2}}\cdot\left(-e^{-r}\hat{\boldsymbol{r}}\right) = -\frac{e^{-r}}{r^{2}}.
Logo o primeiro termo do lado direito é
-\int_{V}\frac{\hat{\boldsymbol{r}}}{r^{2}}\cdot\boldsymbol{\nabla}(e^{-r})\,d\tau =-\int_{V}\left(-\frac{e^{-r}}{r^{2}}\right)\,d\tau =\int_{V}\frac{e^{-r}}{r^{2}}\,d\tau.

Passo 6

Escolhemos V como a bola de raio R centrada na origem (se o enunciado não especificou V, essa escolha é natural para tratar singularidade na origem e depois ver o resultado limite). Em coordenadas esféricas:
d\tau = r^{2}\,dr\,d\Omega,
onde d\Omega é o elemento de ângulo sólido e \int d\Omega = 4\pi. Assim
\int_{V}\frac{e^{-r}}{r^{2}}\,d\tau = \int_{0}^{R}\int_{\Omega} \frac{e^{-r}}{r^{2}}\; r^{2}\,d\Omega\,dr = \int_{0}^{R} e^{-r}\,dr\;\int_{\Omega} d\Omega = 4\pi\int_{0}^{R} e^{-r}\,dr.
A integral radial é
\int_{0}^{R} e^{-r}\,dr = \bigl[-e^{-r}\bigr]_{0}^{R} = 1 - e^{-R},
logo
\int_{V}\frac{e^{-r}}{r^{2}}\,d\tau = 4\pi(1-e^{-R}).

Passo 7

Agora o termo de superfície sobre a esfera de raio R. A superfície é \partial V=S_{R} e o elemento de área é d\boldsymbol{a}=\hat{\boldsymbol{r}}\,R^{2}\,d\Omega. Então
\oint_{\partial V} e^{-r}\frac{\hat{\boldsymbol{r}}}{r^{2}}\cdot d\boldsymbol{a} = \int_{\Omega} e^{-R}\frac{\hat{\boldsymbol{r}}}{R^{2}}\cdot\left(\hat{\boldsymbol{r}}R^{2}d\Omega\right) = \int_{\Omega} e^{-R}\,d\Omega = 4\pi e^{-R}.

Passo 8

Somando os dois termos (Passos 6 e 7) obtemos
\int_{V} e^{-r}\,\boldsymbol{\nabla}\cdot\frac{\hat{\boldsymbol{r}}}{r^{2}}\,d\tau = 4\pi(1-e^{-R}) + 4\pi e^{-R} = 4\pi.
Observe que o resultado é independente de R. Isso mostra que, desde que V contenha a origem (a singularidade do campo \hat{\boldsymbol{r}}/r^{2}), o valor da integral é 4\pi. Se o volume V não contiver a origem, a função \boldsymbol{\nabla}\cdot(\hat{\boldsymbol{r}}/r^{2}) vale zero em todo V e a integral é zero. Outra forma curta de ver isso é reconhecer a identidade distribuicional
\boldsymbol{\nabla}\cdot\frac{\hat{\boldsymbol{r}}}{r^{2}} = 4\pi\,\delta^{(3)}(\boldsymbol{r}),
que ao multiplicar por e^{-r} e integrar dá 4\pi e^{0}=4\pi se a origem estiver dentro de V.

Resposta

\displaystyle \int_{V} e^{-r}\,\boldsymbol{\nabla}\cdot\frac{\hat{\boldsymbol{r}}}{r^{2}}\,d\tau=4\pi ; se V contém a origem.
\displaystyle \int_{V} e^{-r}\,\boldsymbol{\nabla}\cdot\frac{\hat{\boldsymbol{r}}}{r^{2}}\,d\tau=0 ; se V não contém a origem.

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