Um campo de forças F(x, y) no plano é dito conservativo se F=-nabla V, para alguma função suave V(x, y), chamada de potencial (veja o Exemplo 2.26 da apostila). Verifique que o campo de forças F(x, y)=x^2 y i-x^2 y^3 j não é conservativo. Dica: use o Teorema de Schwarz.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pergunta se o campo de forças F(x, y) = x^2 y i - x^2 y^3 j é conservativo. Isso faz parte do estudo de campos vetoriais conservativos em cálculo vetorial. Para verificar isso, vamos usar o Teorema de Schwarz, que nos ajuda a determinar se um campo é conservativo ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um campo ser conservativo. Um campo de forças F(x, y) é conservativo se existe uma função potencial V(x, y) tal que F = -nabla V. Isso implica que as derivadas parciais misturadas de V devem ser iguais, ou seja:
partial^2 Vpartial x partial y = partial^2 Vpartial y partial x
Isso é conhecido como o Teorema de Schwarz.

Passo 3

Para aplicar o Teorema de Schwarz, vamos identificar os componentes do campo F(x, y). Temos:
P(x, y) = x^2 y e Q(x, y) = -x^2 y^3
Segundo o Teorema de Schwarz, para o campo ser conservativo, precisamos que:
partial Ppartial y = partial Qpartial x

Passo 4

Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais.
Primeiro, a derivada parcial de P em relação a y:
partial Ppartial y = partialpartial y (x^2 y) = x^2
Agora, a derivada parcial de Q em relação a x:
partial Qpartial x = partialpartial x (-x^2 y^3) = -2x y^3

Passo 5

Comparando as duas derivadas que calculamos:
partial Ppartial y = x^2 e partial Qpartial x = -2x y^3
Para que o campo seja conservativo, essas duas expressões deveriam ser iguais para todos os valores de x e y.

Passo 6

Observamos que:
x^2 neq -2x y^3
A menos que x = 0 ou y = 0, essas expressões não são iguais. Portanto, a igualdade das derivadas parciais não é satisfeita.

Resposta

O campo de forças F(x, y) = x^2 y i - x^2 y^3 j não é conservativo.

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