Um campo de forças
no plano é dito conservativo se
, para alguma função suave
, chamada de potencial (veja o Exemplo 2.26 da apostila). Verifique que o campo de forças
não é conservativo. Dica: use o Teorema de Schwarz.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pergunta se o campo de forças
é conservativo. Isso faz parte do estudo de campos vetoriais conservativos em cálculo vetorial. Para verificar isso, vamos usar o Teorema de Schwarz, que nos ajuda a determinar se um campo é conservativo ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa um campo ser conservativo. Um campo de forças
é conservativo se existe uma função potencial
tal que
. Isso implica que as derivadas parciais misturadas de
devem ser iguais, ou seja:
Isso é conhecido como o Teorema de Schwarz.
Passo 3
Para aplicar o Teorema de Schwarz, vamos identificar os componentes do campo
. Temos:
Segundo o Teorema de Schwarz, para o campo ser conservativo, precisamos que:
Passo 4
Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais.
Primeiro, a derivada parcial de
em relação a
:
Agora, a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 5
Comparando as duas derivadas que calculamos:
Para que o campo seja conservativo, essas duas expressões deveriam ser iguais para todos os valores de
e
.
Passo 6
Observamos que:
A menos que
ou
, essas expressões não são iguais. Portanto, a igualdade das derivadas parciais não é satisfeita.
Resposta
O campo de forças
não é conservativo.