Certa função diferenciável z=f(x, y) tem, no ponto P=(-1,-2), derivada direcional igual a 2 na direção de s=i, enquanto na direção de v=i+jraiz2 essa derivada vale -raiz2. Faça os itens abaixo, todos em relação ao ponto P e à função f :
3. Na direção do vetor w=3 i-5 j, a função cresce ou decresce, e com qual taxa?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função diferenciável $ z = f(x, y) $ no ponto $ P = (-1, -2) $. Nos dão as derivadas direcionais nessa direção do vetor $ \vec{s} = \vec{i} $ e no vetor $ \vec{v} = \frac{\vec{i} + \vec{j}}{\sqrt{2}} $. Precisamos descobrir se, na direção do vetor $ \vec{w} = 3\vec{i} - 5\vec{j} $, a função está crescendo ou diminuindo, e qual é a taxa dessa variação.
Para resolver isso, vamos lembrar que a derivada direcional de uma função em uma direção qualquer pode ser calculada usando o gradiente da função. Vamos precisar entender como calcular o gradiente e aplicar isso para encontrar a taxa de variação na direção do vetor $ \vec{w} $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de $ f $ na direção de um vetor unitário $ \vec{u} $ é dada por:
f
onde $ \nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right) $ é o gradiente da função.
No ponto $ P $, temos duas derivadas direcionais:
  1. Na direção de $ \vec{s} = \vec{i} $:
u
  1. Na direção de $ \vec{v} = \frac{\vec{i} + \vec{j}}{\sqrt{2}} $:
Du f = nabla f cdot u

Passo 3

Vamos usar a primeira informação para encontrar uma das componentes do gradiente. Sabemos que $ D_{\vec{s}} f = \frac{\partial f}{\partial x} = 2 $.
Agora, usando a segunda informação:
Ds f = partial fpartial x = 2
Multiplicando ambos os lados por $ \sqrt{2} $ para simplificar:
2 cdot 1raiz2 + partial fpartial y cdot 1raiz2 = -raiz2
raiz2
Portanto, o gradiente no ponto $ P $ é:
2 + partial fpartial y = -2

Passo 4

Agora, queremos encontrar a derivada direcional na direção de $ \vec{w} = 3\vec{i} - 5\vec{j} $. Primeiro, precisamos transformar $ \vec{w} $ em um vetor unitário $ \vec{u} $:
w = 3i - 5j

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula da derivada direcional:
Du f = nabla f cdot u = (2, -4) cdot ( 3raiz34, -5raiz34 ) = 2 cdot 3 + (-4) cdot (-5)raiz34 = 6 + 20raiz34 = 26raiz34

Resposta

Na direção do vetor $ \vec{w} = 3\vec{i} - 5\vec{j} $, a função $ f $ está crescendo com uma taxa de $ \frac{26}{\sqrt{34}} $.

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