Certa função diferenciável
tem, no ponto
, derivada direcional igual a 2 na direção de
, enquanto na direção de
essa derivada vale
. Faça os itens abaixo, todos em relação ao ponto
e à função
:
3. Na direção do vetor
, a função cresce ou decresce, e com qual taxa?
3. Na direção do vetor
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função diferenciável $ z = f(x, y) $ no ponto $ P = (-1, -2) $. Nos dão as derivadas direcionais nessa direção do vetor $ \vec{s} = \vec{i} $ e no vetor $ \vec{v} = \frac{\vec{i} + \vec{j}}{\sqrt{2}} $. Precisamos descobrir se, na direção do vetor $ \vec{w} = 3\vec{i} - 5\vec{j} $, a função está crescendo ou diminuindo, e qual é a taxa dessa variação.
Para resolver isso, vamos lembrar que a derivada direcional de uma função em uma direção qualquer pode ser calculada usando o gradiente da função. Vamos precisar entender como calcular o gradiente e aplicar isso para encontrar a taxa de variação na direção do vetor $ \vec{w} $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de $ f $ na direção de um vetor unitário $ \vec{u} $ é dada por:
onde $ \nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right) $ é o gradiente da função.
No ponto $ P $, temos duas derivadas direcionais:
- Na direção de $ \vec{s} = \vec{i} $:
- Na direção de $ \vec{v} = \frac{\vec{i} + \vec{j}}{\sqrt{2}} $:
Passo 3
Vamos usar a primeira informação para encontrar uma das componentes do gradiente. Sabemos que $ D_{\vec{s}} f = \frac{\partial f}{\partial x} = 2 $.
Agora, usando a segunda informação:
Multiplicando ambos os lados por $ \sqrt{2} $ para simplificar:
Portanto, o gradiente no ponto $ P $ é:
Passo 4
Agora, queremos encontrar a derivada direcional na direção de $ \vec{w} = 3\vec{i} - 5\vec{j} $. Primeiro, precisamos transformar $ \vec{w} $ em um vetor unitário $ \vec{u} $:
Passo 5
Agora, aplicamos a fórmula da derivada direcional:
Resposta
Na direção do vetor $ \vec{w} = 3\vec{i} - 5\vec{j} $, a função $ f $ está crescendo com uma taxa de $ \frac{26}{\sqrt{34}} $.