Certa função diferenciável
tem, no ponto
, derivada direcional igual a 2 na direção de
, enquanto na direção de
essa derivada vale
. Faça os itens abaixo, todos em relação ao ponto
e à função
:
2. Em qual direção a taxa de variação é nula?
2. Em qual direção a taxa de variação é nula?
Passo 1
Vamos resolver o item 2 do exercício. Temos uma função diferenciável $ z = f(x, y) $ no ponto $ P = (-1, -2) $. Sabemos que a derivada direcional nessa ponto na direção de $ \vec{s} = \vec{i} $ é 2 e na direção de $ \vec{v} = \frac{\vec{i} + \vec{j}}{\sqrt{2}} $ é $ -\sqrt{2} $. O conteúdo envolvido aqui é derivada direcional e gradiente de funções multivariadas. Precisamos encontrar a direção em que a taxa de variação da função é nula, ou seja, onde a derivada direcional é zero.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de $ f $ na direção de um vetor unitário $ \vec{u} = (u_x, u_y) $ é dada por:
Aqui, $ \nabla f = (f_x, f_y) $ é o gradiente da função no ponto $ P $.
Passo 3
Sabemos que na direção de $ \vec{s} = \vec{i} = (1, 0) $, a derivada direcional é 2:
Então, já temos $ f_x = 2 $.
Passo 4
Agora, na direção de $ \vec{v} = \frac{\vec{i} + \vec{j}}{\sqrt{2}} = \left( \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}} \right) $, a derivada direcional é $ -\sqrt{2} $:
Multiplicando ambos os lados por $ \sqrt{2} $:
Já sabemos que $ f_x = 2 $, então:
Passo 5
Agora, queremos encontrar a direção $ \vec{u} = (u_x, u_y) $ onde a derivada direcional é nula:
Substituindo $ f_x = 2 $ e $ f_y = -4 $:
Passo 6
Para encontrar um vetor na direção onde a derivada é nula, podemos escolher $ u_y = 1 $, então $ u_x = 2 $. Assim, o vetor seria $ \vec{u} = (2, 1) $. Mas queremos um vetor unitário, então normalizamos:
Portanto, a direção é:
Resposta
A taxa de variação de $ f $ é nula na direção de $ \vec{u} = \left( \frac{2}{\sqrt{5}}, \frac{1}{\sqrt{5}} \right) $.