Um campo de forças \vec{F}(x, y)=P(x, y) \vec{i}+Q(x, y) \vec{j}, onde P e Q são funções definidas num aberto A \subset \mathbb{R}^{2}, denomina-se conservativo se existe um campo escalar \varphi: A \rightarrow \mathbb{R} tal que
\nabla \varphi(x, y)=\vec{F}(x, y) \text { em } A
Uma tal função \varphi, quando existe, denomina-se função potencial associada ao campo \vec{F} .0 campo de forças dado é conservativo? Justifique.
\vec{F}(x, y)=y \vec{i}+(x+2 y) \vec{j}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se o campo de forças \vec{F}(x,y)=P(x,y)\vec{i}+Q(x,y)\vec{j} é conservativo e justificar a resposta. O campo dado é
\vec{F}(x,y)=y\,\vec{i}+(x+2y)\,\vec{j}.
As informações relevantes que temos são:
P(x,y)=y,\qquad Q(x,y)=x+2y,
e estas funções são polinômios (portanto estão definidas e têm derivadas contínuas em todo \mathbb{R}^2). A pergunta é: existe uma função escalar \varphi:A\to\mathbb{R} tal que \nabla\varphi(x,y)=\vec{F}(x,y) em A?

Passo 2

Antes de começar a calcular: qual teste usamos para saber se um campo em \mathbb{R}^2 é conservativo? Se existir uma função potencial \varphi com \nabla\varphi=\vec F, então suas segundas derivadas mistas obrigatoriamente coincidem; isto nos dá a condição
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}.
Essa igualdade é uma condição necessária. Além disso, se P e Q são contínuas em uma região simplesmente conexa (por exemplo, A=\mathbb{R}^2), então essa condição é também suficiente — isto vem da teoria sobre campos gradiente e do teorema de Poincaré em duas dimensões. Como P e Q são polinômios, podemos trabalhar em A=\mathbb{R}^2, que é simplesmente conexa.

Passo 3

Calculemos as derivadas parciais envolvidas no teste:
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(y)=1,
\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(x+2y)=1.
Como \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}=1 em toda parte, a condição do passo anterior é satisfeita em \mathbb{R}^2.

Passo 4

Pelo que foi dito, em uma região simplesmente conexa (aqui podemos tomar A=\mathbb{R}^2) a igualdade \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x garante que \vec F é conservativo. Portanto, \vec{F} é conservativo. Agora vamos encontrar explicitamente uma função potencial \varphi.

Passo 5

Se \varphi existe, devemos ter
\frac{\partial \varphi}{\partial x}=P(x,y)=y.
Integrando essa igualdade em relação a x (tratando y como constante) obtemos
\varphi(x,y)=\int y\,dx = xy + h(y),
onde h(y) é uma “constante” de integração que pode depender somente de y.

Passo 6

Para determinar h(y) usamos a condição sobre a derivada em relação a y:
\frac{\partial \varphi}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(xy+h(y)\bigr)=x + h'(y).
Mas também devemos ter \partial\varphi/\partial y=Q(x,y)=x+2y. Igualando,
x + h'(y)=x+2y \quad\Longrightarrow\quad h'(y)=2y.
Integrando em relação a y,
h(y)=\int 2y\,dy = y^2 + C,
onde C é constante real.

Passo 7

Substituindo h(y) em \varphi obtemos a função potencial (até constante aditiva):
\varphi(x,y)=xy + y^2 + C.
Verificação rápida: \partial\varphi/\partial x=y e \partial\varphi/\partial y=x+2y, que coincidem com P e Q. Tudo bate.

Resposta

Sim. \varphi(x,y)=xy+y^{2}+C,\; C\in\mathbb{R}

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