Um campo de forças
, onde
e
são funções definidas num aberto
, denomina-se conservativo se existe um campo escalar
tal que
Uma tal função
, quando existe, denomina-se função potencial associada ao campo
campo de forças dado é conservativo? Justifique.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se o campo de forças
é conservativo e justificar a resposta. O campo dado é
As informações relevantes que temos são:
e estas funções são polinômios (portanto estão definidas e têm derivadas contínuas em todo
). A pergunta é: existe uma função escalar
tal que
em
?
Passo 2
Antes de começar a calcular: qual teste usamos para saber se um campo em
é conservativo? Se existir uma função potencial
com
, então suas segundas derivadas mistas obrigatoriamente coincidem; isto nos dá a condição
Essa igualdade é uma condição necessária. Além disso, se
e
são contínuas em uma região simplesmente conexa (por exemplo,
), então essa condição é também suficiente — isto vem da teoria sobre campos gradiente e do teorema de Poincaré em duas dimensões. Como
e
são polinômios, podemos trabalhar em
, que é simplesmente conexa.
Passo 3
Calculemos as derivadas parciais envolvidas no teste:
Como
em toda parte, a condição do passo anterior é satisfeita em
.
Passo 4
Pelo que foi dito, em uma região simplesmente conexa (aqui podemos tomar
) a igualdade
garante que
é conservativo. Portanto,
é conservativo. Agora vamos encontrar explicitamente uma função potencial
.
Passo 5
Se
existe, devemos ter
Integrando essa igualdade em relação a
(tratando
como constante) obtemos
onde
é uma “constante” de integração que pode depender somente de
.
Passo 6
Para determinar
usamos a condição sobre a derivada em relação a
:
Mas também devemos ter
. Igualando,
Integrando em relação a
,
onde
é constante real.
Passo 7
Substituindo
em
obtemos a função potencial (até constante aditiva):
Verificação rápida:
e
, que coincidem com
e
. Tudo bate.
Resposta
Sim.