Determine z=\varphi_{2}(x, y), x<0, tal que \varphi_{2}(-1,1)=\frac{3 \pi}{4} e, para todo x<0,
\nabla \varphi_{2}(x, y)=\left(\frac{-y}{x^{2}+y^{2}}, \frac{x}{x^{2}+y^{2}}\right)

Passo 1

O que o enunciado pede: encontrar uma função \varphi_{2}(x,y), definida para x<0, tal que \varphi_{2}(-1,1)=\dfrac{3\pi}{4} e, para todo x<0,
\nabla \varphi_{2}(x,y)=\left(\frac{-y}{x^{2}+y^{2}},\;\frac{x}{x^{2}+y^{2}}\right).
Informações dadas e importantes:
  1. A expressão do gradiente fornece as duas derivadas parciais: \frac{\partial \varphi_{2}}{\partial x}(x,y)=\frac{-y}{x^{2}+y^{2}}, \qquad \frac{\partial \varphi_{2}}{\partial y}(x,y)=\frac{x}{x^{2}+y^{2}}.
  2. O domínio é o semiplano x<0 (ou seja, x sempre negativo).
  3. A condição de valor inicial (condição de contorno) é \varphi_{2}(-1,1)=\dfrac{3\pi}{4}.

Passo 2

Motivação do método (por que integrar): temos o gradiente de \varphi_{2}, isto significa que podemos recuperar \varphi_{2} integrando uma das componentes em relação à sua variável e depois ajustando com uma função “constante” (dependente só da outra variável). Esse é o caminho padrão: integrar a componente em x para obter uma expressão com uma função desconhecida de y e depois determinar essa função usando a componente em y.

Passo 3

Integração da primeira componente em relação a x. Vamos integrar
\frac{\partial \varphi_{2}}{\partial x}(x,y)=\frac{-y}{x^{2}+y^{2}}
considerando y como constante. Procure uma primitiva em x. Note a função \arctan\!\left(\dfrac{y}{x}\right): aplique a regra da cadeia para ver sua derivada em relação a x.

Passo 4

Cálculo detalhado da derivada de \arctan\!\left(\dfrac{y}{x}\right) para confirmar que é a nossa primeira componente.
Seja u(x)=\dfrac{y}{x}. Então
\frac{d}{dx}\arctan(u)=\frac{1}{1+u^{2}}\cdot \frac{du}{dx}.
Aqui \dfrac{du}{dx}=\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{y}{x}\right)=-\dfrac{y}{x^{2}} (pois y é constante). Além disso,
1+u^{2}=1+\left(\frac{y}{x}\right)^{2}=\frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}}.
Logo
\frac{d}{dx}\arctan\!\left(\frac{y}{x}\right) =\frac{1}{\dfrac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}}}\cdot\left(-\frac{y}{x^{2}}\right) =\frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}}\cdot\left(-\frac{y}{x^{2}}\right) =-\frac{y}{x^{2}+y^{2}}.
Isso coincide exatamente com \dfrac{\partial \varphi_{2}}{\partial x}. Portanto uma primitiva em x é \arctan\!\left(\dfrac{y}{x}\right), até uma função que dependa só de y.

Passo 5

Escrevendo a expressão geral obtida pela integração:
\varphi_{2}(x,y)=\arctan\!\left(\frac{y}{x}\right)+C(y),
onde C(y) é uma função que depende apenas de y (constante de integração em relação a x).

Passo 6

Determinar C(y) usando a segunda componente do gradiente. Calcule a derivada parcial em y da expressão acima:
\frac{\partial}{\partial y}\Bigg[\arctan\!\left(\frac{y}{x}\right)+C(y)\Bigg] =\frac{\partial}{\partial y}\arctan\!\left(\frac{y}{x}\right)+C'(y).
Agora calcule a derivada de \arctan\!\left(\dfrac{y}{x}\right) em relação a y. Usando u(y)=\dfrac{y}{x} (agora x é constante),
\frac{d}{dy}\arctan(u)=\frac{1}{1+u^{2}}\cdot\frac{du}{dy} =\frac{1}{1+(y/x)^{2}}\cdot\frac{1}{x} =\frac{x}{x^{2}+y^{2}}.
Portanto
\frac{\partial \varphi_{2}}{\partial y}(x,y)=\frac{x}{x^{2}+y^{2}}+C'(y).
Mas sabemos pelo enunciado que \dfrac{\partial \varphi_{2}}{\partial y}(x,y)=\dfrac{x}{x^{2}+y^{2}}. Igualando,
\frac{x}{x^{2}+y^{2}}+C'(y)=\frac{x}{x^{2}+y^{2}} \quad\Longrightarrow\quad C'(y)=0.
Assim C(y) é uma constante (independente de y). Chamemos essa constante de k.

Passo 7

Agora temos
\varphi_{2}(x,y)=\arctan\!\left(\frac{y}{x}\right)+k,
para algum k\in\mathbb{R}. Use a condição \varphi_{2}(-1,1)=\dfrac{3\pi}{4} para determinar k.
Calcule \arctan\!\left(\dfrac{y}{x}\right) no ponto (x,y)=(-1,1): temos \dfrac{y}{x}=\dfrac{1}{-1}=-1, e \arctan(-1)=-\dfrac{\pi}{4} (no ramo principal de \arctan, que toma valores em (-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2})). Logo
\varphi_{2}(-1,1)=\arctan(-1)+k=-\frac{\pi}{4}+k.
Igualando à condição:
-\frac{\pi}{4}+k=\frac{3\pi}{4}\quad\Longrightarrow\quad k=\pi.

Passo 8

Portanto a função procurada, válida para x<0, é
\varphi_{2}(x,y)=\arctan\!\left(\frac{y}{x}\right)+\pi.
Verificação rápida: a adição da constante \pi não altera o gradiente, e no ponto (-1,1) a expressão vale -\dfrac{\pi}{4}+\pi=\dfrac{3\pi}{4}, como pedido.

Resposta

\displaystyle \varphi_{2}(x,y)=\arctan\!\left(\frac{y}{x}\right)+\pi

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