Determine
, tal que
e, para todo
,
Passo 1
O que o enunciado pede: encontrar uma função
, definida para
, tal que
e, para todo
,
Informações dadas e importantes:
- A expressão do gradiente fornece as duas derivadas parciais:
- O domínio é o semiplano
(ou seja, sempre negativo). - A condição de valor inicial (condição de contorno) é
.
Passo 2
Motivação do método (por que integrar): temos o gradiente de
, isto significa que podemos recuperar
integrando uma das componentes em relação à sua variável e depois ajustando com uma função “constante” (dependente só da outra variável). Esse é o caminho padrão: integrar a componente em
para obter uma expressão com uma função desconhecida de
e depois determinar essa função usando a componente em
.
Passo 3
Integração da primeira componente em relação a
. Vamos integrar
considerando
como constante. Procure uma primitiva em
. Note a função
: aplique a regra da cadeia para ver sua derivada em relação a
.
Passo 4
Cálculo detalhado da derivada de
para confirmar que é a nossa primeira componente.
Seja
. Então
Aqui
(pois
é constante). Além disso,
Logo
Isso coincide exatamente com
. Portanto uma primitiva em
é
, até uma função que dependa só de
.
Passo 5
Escrevendo a expressão geral obtida pela integração:
onde
é uma função que depende apenas de
(constante de integração em relação a
).
Passo 6
Determinar
usando a segunda componente do gradiente. Calcule a derivada parcial em
da expressão acima:
Agora calcule a derivada de
em relação a
. Usando
(agora
é constante),
Portanto
Mas sabemos pelo enunciado que
. Igualando,
Assim
é uma constante (independente de
). Chamemos essa constante de
.
Passo 7
Agora temos
para algum
. Use a condição
para determinar
.
Calcule
no ponto
: temos
, e
(no ramo principal de
, que toma valores em
). Logo
Igualando à condição:
Passo 8
Portanto a função procurada, válida para
, é
Verificação rápida: a adição da constante
não altera o gradiente, e no ponto
a expressão vale
, como pedido.