Use o Teorema de Stokes para calcular \int_{C} \vec{F} \cdot \overrightarrow{d r}, onde \vec{F}=2 z \vec{i}+3 x \vec{j}+5 y \vec{k}, e C é a fronteira do paraboloide \mathrm{z}=4-\mathrm{x}^{2}-\mathrm{y}^{2}, \quad \mathrm{z} \geq 0 \quad .\left(12 \pi \quad \mathrm{~m}^{2}\right)\

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral de linha \displaystyle \oint_C \vec F\cdot d\vec r onde a campo vetorial é
\vec F = 2z\,\vec i + 3x\,\vec j + 5y\,\vec k
e C é a fronteira do paraboloide
z = 4 - x^2 - y^2,\qquad z\ge 0.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A superfície dada é o paraboloide que intercepta o plano z=0 quando 4 - x^2 - y^2 = 0, ou seja na curva x^2 + y^2 = 4,\quad z=0,que é um disco circular de raio 2 como contorno (a fronteira) — portanto C é o círculo de raio 2 no plano z=0.
  • Precisamos calcular \displaystyle \oint_C \vec F\cdot d\vec r. Não foi dada orientação explícita, então usarei a orientação positiva associada à norma unitária para cima (regra da mão direita): isso corresponde a percorrer C no sentido anti-horário visto de cima.

Passo 2

Vou usar o Teorema de Stokes, cuja fórmula é (apenas a fórmula, explicada logo em seguida):
\oint_C \vec F\cdot d\vec r \;=\; \iint_{S} (\nabla\times\vec F)\cdot \vec n\, dS.
O que isso significa (em miúdos):
  • Em vez de calcular a integral de linha ao longo da curva C, podemos escolher qualquer superfície S que tenha C como fronteira e calcular a integral de superfície do rotacional de \vec F através de S.
  • \nabla\times\vec F (o “rotacional” ou “curl”) mede a tendência de \vec F girar localmente; \vec n é o vetor normal unitário à superfície S escolhido de forma que a orientação de \vec n e a orientação de C sigam a regra da mão direita.
  • É conveniente escolher S simples: aqui escolho o disco plano no plano z=0 de raio 2, que tem a mesma fronteira C e torna a integral muito mais fácil.

Passo 3

Calcular o rotacional \nabla\times\vec F. Usando a definição (ou a fórmula determinantal),
\nabla\times\vec F = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k\\[4pt] \partial/\partial x & \partial/\partial y & \partial/\partial z\\[4pt] 2z & 3x & 5y \end{vmatrix}.
Vou calcular componente a componente:
  • Componente em \vec i: \dfrac{\partial}{\partial y}(5y) - \dfrac{\partial}{\partial z}(3x) = 5 - 0 = 5.
  • Componente em \vec j: \dfrac{\partial}{\partial z}(2z) - \dfrac{\partial}{\partial x}(5y) = 2 - 0 = 2.
  • Componente em \vec k: \dfrac{\partial}{\partial x}(3x) - \dfrac{\partial}{\partial y}(2z) = 3 - 0 = 3.
Portanto
\nabla\times\vec F = 5\,\vec i + 2\,\vec j + 3\,\vec k.]

Passo 4

Escolhemos S como o disco plano no plano z=0 de raio 2. Para esse disco, o vetor normal unitário apontando para cima é
\vec n = \vec k.
(Escolhemos para cima porque isso corresponde à orientação positiva usual; pela regra da mão direita essa escolha dá a orientação anti-horária de C vista de cima.)
Calcule o produto escalar que entra na integral de superfície:
(\nabla\times\vec F)\cdot \vec n = (5,2,3)\cdot(0,0,1) = 3.
Ou seja, o integrando é a constante 3 sobre todo o disco.

Passo 5

Agora a integral de superfície reduz-se a
\iint_{S} (\nabla\times\vec F)\cdot \vec n\, dS = \iint_{D} 3\, dA,
onde D é o disco de raio 2 no plano z=0. Podemos calcular pela área:
  • Área do disco de raio 2 é \pi\cdot 2^2 = 4\pi.
    Logo
\iint_{D} 3\, dA = 3\cdot \text{Área}(D) = 3\cdot 4\pi = 12\pi.Á
Se quiser ver em coordenadas polares (para fixar o método):
\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2} 3\, r\, dr\, d\theta = 3 \int_{0}^{2\pi} d\theta \int_{0}^{2} r\, dr = 3\cdot(2\pi)\cdot\frac{2^2}{2} = 12\pi.

Passo 6

Pelo Teorema de Stokes, a integral de linha pedida é igual ao valor que acabamos de calcular na superfície escolhida. Portanto
\oint_C \vec F\cdot d\vec r = 12\pi.

Resposta

\;12\pi

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