Campo magnético
Uma bobina de 1000 espiras tem raio de 12 cm e conduz uma corrente de 15 A no sentido anti-horário. Se o plano da bobina está paraleo ao solo e o campo magnético da Terra no local aponta para o norte, tem um módulo de 5,8 \times 10^{-5} \mathrm{~T} e faz um ângulo de 25^{\circ} para baixo com a vertical, o torque que o campo magnético da Terra exerce sobre a bobina é
3,6 \times 10^{-2} N \cdot m, na direção oeste.
1,7 \times 10^{-2} N \cdot m, na direção oeste.
3,6 \times 10^{-2} N \cdot m, na direção sul.
3.6 \times 10^{-2} N \cdot m, na direção leste.
1.7 \times 10^{-2} N \cdot m, na direção leste.

Passo 1

O enunciado pede o torque que o campo magnético da Terra exerce sobre a bobina, incluindo magnitude e direção. As informações relevantes (peguei os números do enunciado/imagem) são:
  • Número de espiras: N=1000.
  • Raio da bobina: r=12\\ \text{cm}=0,12\\ \text{m}.
  • Corrente na bobina: I=15\\ \text{A}, no sentido anti-horário (quando vista de cima).
  • Campo magnético da Terra: módulo B=5,8\times10^{-5}\\ \text{T}.
  • Orientação de \vec{B}: aponta para o norte e faz um ângulo de 25^\circ para baixo em relação à vertical.
  • O plano da bobina está paralelo ao solo (ou seja, a bobina é horizontal).
Pergunta final: determinar o torque \vec{\tau} (módulo e direção) que a Terra exerce sobre a bobina.

Passo 2

Conceito importante: momento magnético da bobina (dipolo magnético).
  • Para uma bobina com N espiras, corrente I e área da espira A, o vetor momento magnético é
\vec{\mu}=N I \vec{A},
onde A é a área da espira e \vec{A} é o vetor área cuja magnitude é A e cuja direção é dada pela regra da mão direita (polegar aponta na direção de \vec{A} quando os dedos enrolam-se no sentido da corrente).
  • Aqui a bobina é circular, então
A=\pi r^2.
Com r=0,12\\ \text{m} temos
A=\pi(0,12)^2=\pi(0,0144)=0,0144\pi\\ \text{m}^2.
Determinar a direção de \vec{\mu}: o sentido da corrente é anti-horário quando vista de cima, então, aplicando a regra da mão direita, o vetor área (e portanto \vec{\mu}) aponta para cima (vertical para cima).

Passo 3

Calcular o valor numérico de \mu (magnitude do momento magnético):
\mu = N I A = N I \pi r^2.
Substituindo os números:
\mu = 1000\cdot15\cdot\pi(0,12)^2 = 15000\cdot\pi\cdot0,0144.
Calculemos em etapas:
\pi\cdot0,0144\approx0,045239,
\mu\approx15000\cdot0,045239\approx678,6\\ \text{A}\cdot\text{m}^2.

Passo 4

Fórmula do torque sobre um dipolo magnético num campo magnético uniforme:
\vec{\tau}=\vec{\mu}\times\vec{B},
e o módulo do torque é
\tau=\mu B\sin\theta,
onde \theta é o ângulo entre \vec{\mu} e \vec{B}.
Geometria do problema para o ângulo: \vec{\mu} aponta vertical para cima. \vec{B} aponta para baixo 25^\circ em relação à vertical, em direção ao norte. Portanto o ângulo entre \vec{\mu} (para cima) e \vec{B} (para baixo 25^\circ) é
\theta=180^\circ-25^\circ=155^\circ.
Usamos a identidade \sin(155^\circ)=\sin(25^\circ), então
\sin\theta=\sin155^\circ=\sin25^\circ.

Passo 5

Calcular o módulo do torque numérico:
  • Primeiro calcule \sin25^\circ. Usando valor aproximado,
\sin25^\circ\approx0,4226.
  • Agora
\tau=\mu B\sin25^\circ.
Substituindo \mu\approx678,6, B=5,8\times10^{-5} e \sin25^\circ\approx0,4226:
\tau\approx678,6\cdot(5,8\times10^{-5})\cdot0,4226.
Calcule passo a passo:
5,8\times10^{-5}\cdot0,4226\approx2,449\times10^{-5},
\tau\approx678,6\cdot2,449\times10^{-5}\approx1,66\times10^{-2}\\ \text{N}\cdot\text{m}.
Arredondando para duas cifras significativas:
\tau\approx1,7\times10^{-2}\\ \text{N}\cdot\text{m}.

Passo 6

Direção do torque (vetorial): usar o produto vetorial \vec{\tau}=\vec{\mu}\times\vec{B}.
  • Escolhemos eixos: x para leste, y para norte, z para cima.
  • \vec{\mu} está em +z.
  • \vec{B} tem componente horizontal para o norte e componente vertical para baixo. Escrevendo
\vec{B}=B\sin25^\circ\,\hat{y}-B\cos25^\circ\,\hat{z}.
  • Então
\vec{\tau}=\mu\hat{z}\times\bigl(B\sin25^\circ\,\hat{y}-B\cos25^\circ\,\hat{z}\bigr) =\mu B\sin25^\circ(\hat{z}\times\hat{y}) + 0.
Como \hat{z}\times\hat{y}=-\hat{x} (isto é, para cima cruzado com norte aponta para oeste), segue
\vec{\tau}=-\bigl(\mu B\sin25^\circ\bigr)\hat{x},
ou seja, a direção do torque é para o lado negativo do eixo x, que é oeste.
Regra prática (intuitiva): \vec{\mu} para cima e \vec{B} tem componente horizontal para o norte; \vec{\mu}\times\vec{B} aponta para oeste.

Passo 7

Conclusão para comparar com as alternativas: o torque tem magnitude \approx1,7\times10^{-2}\\ \text{N}\cdot\text{m} e direção oeste. Esta é a alternativa correta.

Resposta

1,7\times10^{-2}\\ \text{N}\cdot\text{m}, na direção oeste.

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