Calcule a profundidade de penetração \delta no cobre \left(\sigma=5.8 \times 10^{7} \mathrm{~S} / \mathrm{m}\right., \mu_{r}=1 ) e no permalloy ( \sigma=6.0 \times 10^{6} \mathrm{~S} / \mathrm{m}, \mu_{r}=10^{6} ) para as frequências de 10,60,250 e 1000 Hz .

Passo 1

O problema pede para calcular a profundidade de penetração (skin depth) \delta para dois materiais (cobre e permalloy) nas frequências 10, 60, 250 e 1000\\ \mathrm{Hz}. Dados fornecidos (peguei-os do enunciado):
\sigma_{\text{Cu}}=5{,}8\times10^{7}\\ \mathrm{S/m}, \mu_{r,\text{Cu}}=1.
\sigma_{\text{Py}}=6{,}0\times10^{6}\\ \mathrm{S/m}, \mu_{r,\text{Py}}=10^{6}.
Frequências: f=10,\;60,\;250,\;1000\\ \mathrm{Hz}.
A tarefa é fornecer \delta para cada material e cada frequência.

Passo 2

Fórmula que vamos usar (esta é a definição padrão da profundidade de penetração para campos eletromagnéticos em um condutor ôhmico, em regime estacionário harmônico):
\delta = \sqrt{\frac{2}{\omega \mu \sigma}}
Expliquei cada símbolo:
  • \delta é a profundidade de penetração (em metros).
  • \omega é a pulsação angular, \omega=2\pi f, com f em hertz.
  • \mu é a permeabilidade magnética do material, \mu=\mu_0\mu_r.
  • \mu_0 é a permeabilidade do vácuo: \mu_0=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m}.
  • \mu_r é a permeabilidade relativa do material (adimensional).
  • \sigma é a condutividade elétrica (em S/m).
    Unidades: dentro da raiz, \omega tem unidades \mathrm{rad/s}, \mu tem \mathrm{H/m} e \sigma tem \mathrm{S/m}. O produto \omega\mu\sigma tem dimensão \mathrm{s^{-1} m^{-2}} e o inverso dá \mathrm{m^{2}}, a raiz dá \mathrm{m} — consistente.

Passo 3

Calcular constantes fixas e as permeabilidades dos materiais.
Valor de \mu_0:
\mu_0 = 4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m}\approx 1{,}25663706\times10^{-6}\\ \mathrm{H/m}.
Permeabilidades:
\mu_{\text{Cu}}=\mu_0\mu_{r,\text{Cu}}=\mu_0\cdot1=1{,}25663706\times10^{-6}\\ \mathrm{H/m}.
\mu_{\text{Py}}=\mu_0\mu_{r,\text{Py}}=\mu_0\cdot10^{6}=1{,}25663706\times10^{0}\\ \mathrm{H/m}=1{,}25663706\\ \mathrm{H/m}.

Passo 4

Cálculo da expressão numérica para o cobre. Primeiro monto o produto \mu\sigma:
\mu_{\text{Cu}}\sigma_{\text{Cu}}=(1{,}25663706\times10^{-6})\times(5{,}8\times10^{7})
Calculemos passo a passo:
(1{,}25663706\times10^{-6})\times(5{,}8\times10^{7}) = 1{,}25663706\times5{,}8\times10^{1}\approx 72{,}8849495.
Agora \omega\mu\sigma=(2\pi f)\times72{,}8849495. Como 2\pi\approx6{,}2831853,
\omega\mu\sigma \approx 72{,}8849495\times6{,}2831853\times f \approx 457{,}999999\;f \approx 458{,}0\;f.
Portanto a expressão para \delta_{\text{Cu}} fica
\delta_{\text{Cu}}=\sqrt{\frac{2}{458{,}0\,f}}=\sqrt{\frac{2}{458{,}0}}\cdot\frac{1}{\sqrt{f}}.
Calcule o fator numérico:
\sqrt{\frac{2}{458{,}0}}\approx 0{,}066066.
Logo uma forma prática:
\delta_{\text{Cu}}\approx\frac{0{,}066066}{\sqrt{f}}\\ \mathrm{m}.
Agora avalio para cada f:
  • f=10\\ \mathrm{Hz}: \sqrt{10}=3{,}16227766,
\delta_{\text{Cu}}(10)\approx\frac{0{,}066066}{3{,}16227766}\approx0{,}0209\\ \mathrm{m}.
(que é 20{,}9\\ \mathrm{mm})
  • f=60\\ \mathrm{Hz}: \sqrt{60}=7{,}74596669,
\delta_{\text{Cu}}(60)\approx\frac{0{,}066066}{7{,}74596669}\approx0{,}00853\\ \mathrm{m}.
( 8{,}53\\ \mathrm{mm} )
  • f=250\\ \mathrm{Hz}: \sqrt{250}=15{,}8113883,
\delta_{\text{Cu}}(250)\approx\frac{0{,}066066}{15{,}8113883}\approx0{,}00418\\ \mathrm{m}.
( 4{,}18\\ \mathrm{mm} )
  • f=1000\\ \mathrm{Hz}: \sqrt{1000}=31{,}6227766,
\delta_{\text{Cu}}(1000)\approx\frac{0{,}066066}{31{,}6227766}\approx0{,}00209\\ \mathrm{m}.
( 2{,}09\\ \mathrm{mm} )

Passo 5

Cálculo para o permalloy. Primeiro o produto \mu\sigma:
\mu_{\text{Py}}\sigma_{\text{Py}}=(1{,}25663706)\times(6{,}0\times10^{6})=1{,}25663706\times6{,}0\times10^{6}\approx7{,}53982236\times10^{6}.
Agora \omega\mu\sigma=(2\pi f)\times7{,}53982236\times10^{6}. Usando 2\pi\approx6{,}2831853,
\omega\mu\sigma\approx 7{,}53982236\times10^{6}\times6{,}2831853\times f \approx 4{,}734782236\times10^{7}\;f.
A expressão para \delta_{\text{Py}} é
\delta_{\text{Py}}=\sqrt{\frac{2}{4{,}734782236\times10^{7}\;f}}=\sqrt{\frac{2}{4{,}734782236\times10^{7}}}\cdot\frac{1}{\sqrt{f}}.
Calcule o fator:
\sqrt{\frac{2}{4{,}734782236\times10^{7}}}\approx 2{,}055\times10^{-4}=0{,}0002055.
Logo
\delta_{\text{Py}}\approx\frac{0{,}0002055}{\sqrt{f}}\\ \mathrm{m}.
Avaliação por frequência:
  • f=10\\ \mathrm{Hz}: \sqrt{10}=3{,}16227766,
\delta_{\text{Py}}(10)\approx\frac{0{,}0002055}{3{,}16227766}\approx6{,}50\times10^{-5}\\ \mathrm{m}\\ (\approx65\\ \mu\mathrm{m}).
  • f=60\\ \mathrm{Hz}: \sqrt{60}=7{,}74596669,
\delta_{\text{Py}}(60)\approx\frac{0{,}0002055}{7{,}74596669}\approx2{,}65\times10^{-5}\\ \mathrm{m}\\ (\approx26{,}5\\ \mu\mathrm{m}).
  • f=250\\ \mathrm{Hz}: \sqrt{250}=15{,}8113883,
\delta_{\text{Py}}(250)\approx\frac{0{,}0002055}{15{,}8113883}\approx1{,}30\times10^{-5}\\ \mathrm{m}\\ (\approx13{,}0\\ \mu\mathrm{m}).
  • f=1000\\ \mathrm{Hz}: \sqrt{1000}=31{,}6227766,
\delta_{\text{Py}}(1000)\approx\frac{0{,}0002055}{31{,}6227766}\approx6{,}50\times10^{-6}\\ \mathrm{m}\\ (\approx6{,}50\\ \mu\mathrm{m}).

Passo 6

Interpretação rápida (pra te animar): o permalloy, por ter \mu_r enorme, apresenta uma profundidade de penetração muito menor — ou seja, o campo decai muito mais rapidamente no material magnético do que no cobre. Isso é esperado e útil em núcleos magnéticos (evita penetração profunda de correntes de Foucault). Agora segue só a resposta final condensada.

Resposta

Cobre: \delta(10\\ \mathrm{Hz})=0,0209\\ \mathrm{m},\\ \delta(60\\ \mathrm{Hz})=0,00853\\ \mathrm{m},\\ \delta(250\\ \mathrm{Hz})=0,00418\\ \mathrm{m},\\ \delta(1000\\ \mathrm{Hz})=0,00209\\ \mathrm{m}
Permalloy: \delta(10\\ \mathrm{Hz})=6{,}50\times10^{-5}\\ \mathrm{m},\\ \delta(60\\ \mathrm{Hz})=2{,}65\times10^{-5}\\ \mathrm{m},\\ \delta(250\\ \mathrm{Hz})=1{,}30\times10^{-5}\\ \mathrm{m},\\ \delta(1000\\ \mathrm{Hz})=6{,}50\times10^{-6}\\ \mathrm{m}

Exercícios relacionados