Na mesma máquina do problema precedente, consideremos que as lâminas formando o circuito magnético têm espessura de 0.3 mm e condutividade \sigma=10^{7} \mathrm{~S} / \mathrm{m}. Calcule, para f=60 \mathrm{~Hz}, a potência média dissipada com as correntes de Foucault nas chapas.
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a potência média dissipada pelas correntes de Foucault (correntes parasitas) nas lâminas (chapas) para f=60\\ \mathrm{Hz}.
Informações fornecidas no enunciado atual:
espessura da lâmina: d=0,3\\ \mathrm{mm}=0,0003\\ \mathrm{m};
Informações que faltam e que são essenciais (provavelmente estavam no “problema precedente” que você mencionou, mas não foram enviadas aqui):
amplitude da densidade de fluxo magnético variável no tempo, B_{m} (ou, equivalentemente, o fluxo magnético que atravessa cada lâmina);
volume total (ou área multiplicada pela espessura) das lâminas que estão sujeitas ao campo alternado — i.e., V das chapas;
informação sobre a permeabilidade magnética do meio (valor de \mu ou \mu_r) caso queiramos verificar a validade da hipótese de campo praticamente uniforme sobre a espessura (efeito de skin depth).
Conclusão do passo: com os dados que você mandou só é possível desenvolver a fórmula e explicar o método; não dá para dar um número final sem B_{m} e sem o volume/área das chapas (ou outra informação equivalente).
Passo 2
Explicação física simples e hipótese usada (para eu te ajudar a entender como resolver na prova):
Quando uma lâmina condutora é atravessada por um campo magnético alternado perpendicular à lâmina, aparece uma força eletromotriz (f.e.m.) induzida que gera correntes circulantes dentro da lâmina — essas são as correntes de Foucault. Essas correntes dissipam energia por aquecimento (perdas ôhmicas).
Para deduzir uma expressão prática, fazemos a hipótese comum para lâminas finas: o campo magnético B(t) é aproximadamente uniforme ao longo da espessura d. Essa hipótese é válida se a profundidade de penetração (skin depth) \delta for maior que d ou da mesma ordem. A fórmula para a skin depth é
\delta=\sqrt{\frac{2}{\omega\mu\sigma}},
onde \omega=2\pi f, \mu é a permeabilidade magnética do material (ou do meio) e \sigma é a condutividade. Se \delta\gg d, o campo é essencialmente uniforme na espessura e a dedução abaixo vale.
Como você deu \sigma, podemos verificar um caso ilustrativo: assumindo \mu=\mu_0=4\pi\cdot10^{-7}\\ \mathrm{H/m} (meio não magnético), com f=60\\ \mathrm{Hz} temos
Como d=0,3\\ \mathrm{mm}\ll 20,6\\ \mathrm{mm}, a hipótese de campo uniforme é claramente válida no caso não magnético. Para materiais ferromagnéticos a permeabilidade relativa \mu_r pode ser grande e reduzir \delta (por exemplo \mu_r=1000 daria \delta\approx0,65\\ \mathrm{mm}), então precisa-se do \mu_r para julgar rigorosamente. Em resumo: sem \mu_r assumimos que a laminagem foi projetada para que d seja comparável ou menor que \delta, e a dedução abaixo é a usada na prática para chapas laminadas.
Passo 3
Dedução passo a passo da expressão da potência média por unidade de volume (a dedução aqui é didática para você lembrar na prova):
Modelemos uma lâmina de espessura d ocupando -d/2\le x\le d/2 na direção da espessura. Suponha que o campo magnético seja perpendicular à lâmina e uniforme na espessura, com variação harmônica no tempo:
B(t)=B_{m}\cos(\omega t).
Pelo potencial vetorial magnético apropriado (ou diretamente por Faraday), a f.e.m. induzida cria um campo elétrico local proporcional à coordenada x. Uma forma direta (tecnicamente corret a nível de prova) é observar que a variação temporal do fluxo provoca uma força eletromotriz por unidade comprimento proporcional a x\,\dot B. O resultado é que o campo elétrico induzido ao longo de loops na lâmina (no plano) tem amplitude proporcional a x\omega B_{m}. Tomando a forma instantânea do campo elétrico (numa direção tangencial) obtemos, em módulo,
E(x,t)=x\,\omega B_{m}\sin(\omega t).
A densidade de corrente é J=\sigma E. Logo a potência instantânea dissipada por unidade de volume é p(x,t)=J E=\sigma E^{2}. Tomando valor médio temporal (média sobre um ciclo; média de \sin^{2} é 1/2), a potência média por unidade de volume em função de x é
Finalmente, a potência média total dissipada pelas lâminas é a potência por unidade de volume multiplicada pelo volume total V das lâminas submetidas ao campo:
\boxed{P\approx 5326{,}6\;B_{m}^{2}\;V\quad(\text{com }B_{m}\text{ em T e }V\text{ em m}^{3},\;P\text{ em W}).}
Isto significa: para as lâminas com os parâmetros que você deu, a potência média dissipada por correntes de Foucault é aproximadamente 5326{,}6 vezes o produto B_{m}^{2}V. Para obter um número final você precisa fornecer B_{m} (em tesla) e o volume total V das chapas que sofrem o campo alternado.
Passo 5
Verificações e observações práticas (coisa que pode aparecer na prova ou numa entrevista oral):
Se na máquina o material for ferromagnético com \mu_r grande, verifique a condição d\ll\delta. Se \delta for menor que d, o campo não é uniforme na espessura e a fórmula acima subestimará as perdas; aí a análise fica mais complexa (solução da equação de difusão eletromagnética) e geralmente usa-se tabelas/curvas ou formulação com fator de correção.
Exemplo ilustrativo (apenas para você ter noção de ordem de grandeza): se B_{m}=0{,}1\\ \mathrm{T} e V=0{,}01\\ \mathrm{m^{3}},
Isto é só um exemplo numérico ilustrativo; não use isso como resposta do seu exercício a menos que B_{m} e V sejam realmente esses.
Resposta
Não é possível dar um valor numérico final porque faltam B_{m} (amplitude da densidade de fluxo magnético) e o volume total V das lâminas. A expressão para a potência média é