Na mesma máquina do problema precedente, consideremos que as lâminas formando o circuito magnético têm espessura de 0.3 mm e condutividade \sigma=10^{7} \mathrm{~S} / \mathrm{m}. Calcule, para f=60 \mathrm{~Hz}, a potência média dissipada com as correntes de Foucault nas chapas.

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a potência média dissipada pelas correntes de Foucault (correntes parasitas) nas lâminas (chapas) para f=60\\ \mathrm{Hz}.
Informações fornecidas no enunciado atual:
  • espessura da lâmina: d=0,3\\ \mathrm{mm}=0,0003\\ \mathrm{m};
  • condutividade elétrica: \sigma=10^{7}\\ \mathrm{S/m};
  • frequência: f=60\\ \mathrm{Hz}.
Informações que faltam e que são essenciais (provavelmente estavam no “problema precedente” que você mencionou, mas não foram enviadas aqui):
  • amplitude da densidade de fluxo magnético variável no tempo, B_{m} (ou, equivalentemente, o fluxo magnético que atravessa cada lâmina);
  • volume total (ou área multiplicada pela espessura) das lâminas que estão sujeitas ao campo alternado — i.e., V das chapas;
  • informação sobre a permeabilidade magnética do meio (valor de \mu ou \mu_r) caso queiramos verificar a validade da hipótese de campo praticamente uniforme sobre a espessura (efeito de skin depth).
Conclusão do passo: com os dados que você mandou só é possível desenvolver a fórmula e explicar o método; não dá para dar um número final sem B_{m} e sem o volume/área das chapas (ou outra informação equivalente).

Passo 2

Explicação física simples e hipótese usada (para eu te ajudar a entender como resolver na prova):
  • Quando uma lâmina condutora é atravessada por um campo magnético alternado perpendicular à lâmina, aparece uma força eletromotriz (f.e.m.) induzida que gera correntes circulantes dentro da lâmina — essas são as correntes de Foucault. Essas correntes dissipam energia por aquecimento (perdas ôhmicas).
  • Para deduzir uma expressão prática, fazemos a hipótese comum para lâminas finas: o campo magnético B(t) é aproximadamente uniforme ao longo da espessura d. Essa hipótese é válida se a profundidade de penetração (skin depth) \delta for maior que d ou da mesma ordem. A fórmula para a skin depth é
\delta=\sqrt{\frac{2}{\omega\mu\sigma}},
onde \omega=2\pi f, \mu é a permeabilidade magnética do material (ou do meio) e \sigma é a condutividade. Se \delta\gg d, o campo é essencialmente uniforme na espessura e a dedução abaixo vale.
  • Como você deu \sigma, podemos verificar um caso ilustrativo: assumindo \mu=\mu_0=4\pi\cdot10^{-7}\\ \mathrm{H/m} (meio não magnético), com f=60\\ \mathrm{Hz} temos
\omega=2\pi f\approx 377\\ \mathrm{rad/s},
\delta=\sqrt{\frac{2}{\omega\mu_0\sigma}}\approx\sqrt{\frac{2}{377\cdot 4\pi\cdot10^{-7}\cdot10^{7}}}\approx 0,0206\\ \mathrm{m}=20,6\\ \mathrm{mm}.
Como d=0,3\\ \mathrm{mm}\ll 20,6\\ \mathrm{mm}, a hipótese de campo uniforme é claramente válida no caso não magnético. Para materiais ferromagnéticos a permeabilidade relativa \mu_r pode ser grande e reduzir \delta (por exemplo \mu_r=1000 daria \delta\approx0,65\\ \mathrm{mm}), então precisa-se do \mu_r para julgar rigorosamente. Em resumo: sem \mu_r assumimos que a laminagem foi projetada para que d seja comparável ou menor que \delta, e a dedução abaixo é a usada na prática para chapas laminadas.

Passo 3

Dedução passo a passo da expressão da potência média por unidade de volume (a dedução aqui é didática para você lembrar na prova):
  1. Modelemos uma lâmina de espessura d ocupando -d/2\le x\le d/2 na direção da espessura. Suponha que o campo magnético seja perpendicular à lâmina e uniforme na espessura, com variação harmônica no tempo:
B(t)=B_{m}\cos(\omega t).
  1. Pelo potencial vetorial magnético apropriado (ou diretamente por Faraday), a f.e.m. induzida cria um campo elétrico local proporcional à coordenada x. Uma forma direta (tecnicamente corret a nível de prova) é observar que a variação temporal do fluxo provoca uma força eletromotriz por unidade comprimento proporcional a x\,\dot B. O resultado é que o campo elétrico induzido ao longo de loops na lâmina (no plano) tem amplitude proporcional a x\omega B_{m}. Tomando a forma instantânea do campo elétrico (numa direção tangencial) obtemos, em módulo,
E(x,t)=x\,\omega B_{m}\sin(\omega t).
  1. A densidade de corrente é J=\sigma E. Logo a potência instantânea dissipada por unidade de volume é p(x,t)=J E=\sigma E^{2}. Tomando valor médio temporal (média sobre um ciclo; média de \sin^{2} é 1/2), a potência média por unidade de volume em função de x é
\overline{p}(x)=\sigma \frac{\omega^{2} B_{m}^{2} x^{2}}{2}.
  1. Agora integramos essa potência média ao longo da espessura para obter a potência média por unidade de área da lâmina:
\overline{P}_{\text{área}}=\int_{-d/2}^{d/2}\overline{p}(x)\,dx =\int_{-d/2}^{d/2}\sigma \frac{\omega^{2} B_{m}^{2} x^{2}}{2}\,dx.á
Fazendo a integral:
\overline{P}_{\text{área}}=\sigma\frac{\omega^{2} B_{m}^{2}}{2}\cdot\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{-d/2}^{d/2} =\sigma\frac{\omega^{2} B_{m}^{2}}{2}\cdot\frac{(d/2)^{3}-( -d/2)^{3}}{3}.á
Como a função é par, isso dá
\overline{P}_{\text{área}}=\sigma\frac{\omega^{2} B_{m}^{2}}{2}\cdot\frac{2(d/2)^{3}}{3} =\sigma\frac{\omega^{2} B_{m}^{2} d^{3}}{24}.á
  1. Potência média por unidade de volume \overline{p}_{v} obtém-se dividindo por d:
\overline{p}_{v}=\frac{\overline{P}_{\text{área}}}{d}=\sigma\frac{\omega^{2} B_{m}^{2} d^{2}}{24}.á
Usando \omega=2\pi f e \rho=1/\sigma (resistividade), podemos reescrever de duas formas úteis. Em termos de \rho:
\overline{p}_{v}=\frac{\pi^{2} f^{2} B_{m}^{2} d^{2}}{6\,\rho}.
Em termos de \sigma:
\overline{p}_{v}=\sigma\frac{(2\pi f)^{2} B_{m}^{2} d^{2}}{24}=\frac{\pi^{2} f^{2} B_{m}^{2} d^{2}\sigma}{6}.
  1. Finalmente, a potência média total dissipada pelas lâminas é a potência por unidade de volume multiplicada pelo volume total V das lâminas submetidas ao campo:
\boxed{P=\overline{p}_{v}\,V=\frac{\pi^{2} f^{2} B_{m}^{2} d^{2}}{6\,\rho}\,V.}
Usando \rho=1/\sigma
\boxed{P=\frac{\pi^{2} f^{2} B_{m}^{2} d^{2}\sigma}{6}\,V.}
Essa é a fórmula padrão usada em máquinas com chapas laminadas quando d é pequeno perante \delta.

Passo 4

Aplicando os valores numéricos conhecidos (mas mantendo B_{m} e V simbólicos porque eles não foram fornecidos):
  • coloque d=0,0003\\ \mathrm{m}, \sigma=10^{7}\\ \mathrm{S/m} e f=60\\ \mathrm{Hz} na expressão
P=\frac{\pi^{2} f^{2} B_{m}^{2} d^{2}\sigma}{6}\,V.
Calculemos o fator numérico que multiplica B_{m}^{2}V:
\pi^{2}\approx 9,8696,\quad f^{2}=60^{2}=3600,\quad d^{2}=(0,0003)^{2}=9\times10^{-8}.
Multiplicando:
\frac{\pi^{2} f^{2} d^{2}\sigma}{6} =\frac{9,8696\cdot 3600\cdot 9\times10^{-8}\cdot 10^{7}}{6}.
Passo a passo:
9,8696\cdot 3600\approx 35510,56,
35510,56\cdot 9\times10^{-8}=3,1959504\times10^{-3},
3,1959504\times10^{-3}\cdot 10^{7}=3,1959504\times10^{4}=31959,504,
\frac{31959,504}{6}\approx 5326,584.
Logo obtemos a forma prática
\boxed{P\approx 5326{,}6\;B_{m}^{2}\;V\quad(\text{com }B_{m}\text{ em T e }V\text{ em m}^{3},\;P\text{ em W}).}
Isto significa: para as lâminas com os parâmetros que você deu, a potência média dissipada por correntes de Foucault é aproximadamente 5326{,}6 vezes o produto B_{m}^{2}V. Para obter um número final você precisa fornecer B_{m} (em tesla) e o volume total V das chapas que sofrem o campo alternado.

Passo 5

Verificações e observações práticas (coisa que pode aparecer na prova ou numa entrevista oral):
  • Se na máquina o material for ferromagnético com \mu_r grande, verifique a condição d\ll\delta. Se \delta for menor que d, o campo não é uniforme na espessura e a fórmula acima subestimará as perdas; aí a análise fica mais complexa (solução da equação de difusão eletromagnética) e geralmente usa-se tabelas/curvas ou formulação com fator de correção.
  • Exemplo ilustrativo (apenas para você ter noção de ordem de grandeza): se B_{m}=0{,}1\\ \mathrm{T} e V=0{,}01\\ \mathrm{m^{3}},
P\approx 5326{,}6\times (0{,}1)^{2}\times 0{,}01 =5326{,}6\times 0{,}01\times 0{,}01 =5326{,}6\times 10^{-4}\approx 0{,}5327\\ \mathrm{W}.
Isto é só um exemplo numérico ilustrativo; não use isso como resposta do seu exercício a menos que B_{m} e V sejam realmente esses.

Resposta

Não é possível dar um valor numérico final porque faltam B_{m} (amplitude da densidade de fluxo magnético) e o volume total V das lâminas. A expressão para a potência média é
P=\frac{\pi^{2} f^{2} B_{m}^{2} d^{2}}{6\,\rho}\,V
e, com d=0{,}3\\ \mathrm{mm}, \sigma=10^{7}\\ \mathrm{S/m} (ou \rho=1/\sigma) e f=60\\ \mathrm{Hz}, isso fica numericamente
\boxed{P\approx 5326{,}6\;B_{m}^{2}\;V\\ \\ (\text{W, com }B_{m}\text{ em T e }V\text{ em m}^{3}).}

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