Um campo magnético gerado por um fio de raio R, dentro do fio, é dado por:
\overrightarrow{\mathcal{B}}=\frac{\mu_{0} J_{0} \rho}{2 \pi R^{2}} \hat{\theta}, \quad \rho \leq R
O eixo z é paralelo ao eixo do fio, e J_{0}>0. Considere a superfície lateral de um cilindro de raio \rho, \rho<R, e altura L, colocada concêntrica e coaxialmente com o fio. Calcule:
(a) o fluxo magnético através da superfície.
(b) \int_{S} \overrightarrow{\mathcal{B}} \times \hat{\mathbf{n}} d A.

Passo 1

O enunciado dá o campo magnético dentro de um fio de raio R:
\overrightarrow{\mathcal{B}}=\frac{\mu_{0} J_{0} \rho}{2 \pi R^{2}} \hat{\theta}, \quad \rho \leq R
Aqui \rho é a coordenada radial (distância ao eixo), \hat{\theta} é o versor azimutal e \mu_{0},J_{0},R são constantes com J_{0}>0. Temos uma superfície lateral de um cilindro de raio \rho (com \rho<R), altura L, concêntrica e coaxial com o fio. Precisamos calcular duas coisas:
(a) o fluxo magnético através dessa superfície lateral;
(b) o integral sobre a superfície S de \overrightarrow{\mathcal{B}} \times \hat{\mathbf{n}}\, dA, onde \hat{\mathbf{n}} é o versor normal à superfície (no caso, o normal externo radial).

Passo 2

Lembra a definição do fluxo através de uma superfície: o fluxo é a integral da componente normal do campo sobre a área:
\Phi=\int_{S} \overrightarrow{\mathcal{B}}\cdot \hat{\mathbf{n}}\, dA.
Para a superfície lateral do cilindro coaxial, o versor normal (externo) é o versor radial:
\hat{\mathbf{n}}=\hat{\rho}.
Logo precisamos do produto escalar \overrightarrow{\mathcal{B}}\cdot \hat{\rho}.

Passo 3

Explique por que o produto escalar é zero: os versores cilíndricos satisfazem \hat{\rho}\cdot\hat{\theta}=0 (são ortogonais). O campo dado tem direção \hat{\theta}, isto é,
\overrightarrow{\mathcal{B}}=\frac{\mu_{0} J_{0} \rho}{2 \pi R^{2}} \hat{\theta}.
Portanto
\overrightarrow{\mathcal{B}}\cdot \hat{\rho}=\frac{\mu_{0} J_{0} \rho}{2 \pi R^{2}}(\hat{\theta}\cdot\hat{\rho})=0.
Como a componente normal é identicamente zero em toda a superfície, o integrando do fluxo é zero.

Passo 4

Concluímos o item (a): o fluxo magnético através da superfície lateral é zero, porque o campo é tangencial ( \hat{\theta}) e a normal é radial ( \hat{\rho}), ortogonais.

Passo 5

Agora o item (b). A integral pedida é
\int_{S} \overrightarrow{\mathcal{B}}\times \hat{\mathbf{n}}\, dA.
Na superfície lateral \hat{\mathbf{n}}=\hat{\rho} e \overrightarrow{\mathcal{B}}=(\mu_{0} J_{0} \rho/(2\pi R^{2}))\hat{\theta}, onde aqui \rho é a constante do raio da superfície. Vamos calcular o produto vetorial entre os versores: usando a ordem cíclica dos versores cilíndricos (\hat{\rho},\hat{\theta},\hat{z}) e a regra da mão direita,
\hat{\rho}\times\hat{\theta}=\hat{z}\quad\Rightarrow\quad \hat{\theta}\times\hat{\rho}=-\hat{z}.
Portanto
\overrightarrow{\mathcal{B}}\times\hat{\rho}=\frac{\mu_{0} J_{0} \rho}{2 \pi R^{2}}(\hat{\theta}\times\hat{\rho}) =-\frac{\mu_{0} J_{0} \rho}{2 \pi R^{2}}\hat{z}.

Passo 6

Precisamos agora multiplicar por dA e integrar sobre a superfície lateral. O elemento de área da casca cilíndrica de raio \rho e altura L é
dA=\rho\, d\theta\, dz,
com \theta variando de 0 a 2\pi e z variando numa extensão de comprimento L. Assim o integrando completo é
\left(\overrightarrow{\mathcal{B}}\times\hat{\rho}\right)dA = -\frac{\mu_{0} J_{0} \rho}{2 \pi R^{2}}\hat{z}\;(\rho\, d\theta\, dz) = -\frac{\mu_{0} J_{0} \rho^{2}}{2 \pi R^{2}}\hat{z}\; d\theta\, dz.

Passo 7

Agora integro em \theta e z:
\int_{S} \overrightarrow{\mathcal{B}}\times \hat{\mathbf{n}}\, dA = -\frac{\mu_{0} J_{0} \rho^{2}}{2 \pi R^{2}}\hat{z} \int_{0}^{L}\int_{0}^{2\pi} d\theta\, dz.
A integral dupla dá 2\pi L, então
\int_{S} \overrightarrow{\mathcal{B}}\times \hat{\mathbf{n}}\, dA = -\frac{\mu_{0} J_{0} \rho^{2}}{2 \pi R^{2}}\hat{z}\;(2\pi L) = -\frac{\mu_{0} J_{0} L \rho^{2}}{R^{2}}\;\hat{z}.

Resposta

(a) 0\n
(b) -\dfrac{\mu_{0} J_{0} L \rho^{2}}{R^{2}}\;\hat{z}

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