Um campo magnético gerado por um fio de raio
, dentro do fio, é dado por:
O eixo
é paralelo ao eixo do fio, e
. Considere a superfície lateral de um cilindro de raio
, e altura
, colocada concêntrica e coaxialmente com o fio. Calcule:
(a) o fluxo magnético através da superfície.
(b)
.
(a) o fluxo magnético através da superfície.
(b)
Passo 1
O enunciado dá o campo magnético dentro de um fio de raio
:
Aqui
é a coordenada radial (distância ao eixo),
é o versor azimutal e
são constantes com
. Temos uma superfície lateral de um cilindro de raio
(com
), altura
, concêntrica e coaxial com o fio. Precisamos calcular duas coisas:
(a) o fluxo magnético através dessa superfície lateral;
(b) o integral sobre a superfície de
, onde
é o versor normal à superfície (no caso, o normal externo radial).
(a) o fluxo magnético através dessa superfície lateral;
(b) o integral sobre a superfície
Passo 2
Lembra a definição do fluxo através de uma superfície: o fluxo é a integral da componente normal do campo sobre a área:
Para a superfície lateral do cilindro coaxial, o versor normal (externo) é o versor radial:
Logo precisamos do produto escalar
.
Passo 3
Explique por que o produto escalar é zero: os versores cilíndricos satisfazem
(são ortogonais). O campo dado tem direção
, isto é,
Portanto
Como a componente normal é identicamente zero em toda a superfície, o integrando do fluxo é zero.
Passo 4
Concluímos o item (a): o fluxo magnético através da superfície lateral é zero, porque o campo é tangencial (
) e a normal é radial (
), ortogonais.
Passo 5
Agora o item (b). A integral pedida é
Na superfície lateral
e
, onde aqui
é a constante do raio da superfície. Vamos calcular o produto vetorial entre os versores: usando a ordem cíclica dos versores cilíndricos
e a regra da mão direita,
Portanto
Passo 6
Precisamos agora multiplicar por
e integrar sobre a superfície lateral. O elemento de área da casca cilíndrica de raio
e altura
é
com
variando de
a
e
variando numa extensão de comprimento
. Assim o integrando completo é
Passo 7
Agora integro em
e
:
A integral dupla dá
, então
Resposta
(a)
\n
(b)
(b)