Um campo magnético não uniforme preenche um volume cilíndrico de raio
. Se a magnitude do campo magnético é dada por
, onde
é uma constante positiva,
é o tempo e
é a distância ao eixo do volume cilíndrico:
determine o campo elétrico induzido no interior da região cilíndrica;
determine o campo elétrico induzido no interior da região cilíndrica;
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem um campo magnético que não é uniforme dentro de um cilindro de raio $ R $. A intensidade desse campo magnético é dada por $ B = k t^{2} r $, onde $ k $ é uma constante positiva, $ t $ é o tempo e $ r $ é a distância até o eixo do cilindro. Nosso objetivo aqui é encontrar o campo elétrico que é induzido dentro dessa região cilíndrica. Para resolver isso, vamos precisar usar a Lei de Faraday da Indução Eletromagnética e entender como o campo magnético variável no tempo gera um campo elétrico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que diz a Lei de Faraday. Ela nos diz que uma variação no fluxo magnético através de uma superfície cria um campo elétrico ao redor dessa superfície. A fórmula da Lei de Faraday é:
Aqui, $ \oint \vec{E} \cdot d\vec{l} $ é a integral de linha do campo elétrico ao redor de um caminho fechado, e $ \Phi_B $ é o fluxo magnético passando por essa superfície.
Passo 3
Vamos calcular o fluxo magnético $ \Phi_B $. O fluxo magnético é dado por:
Como o campo magnético $ B = k t^{2} r $ é radialmente dependente e o cilindro é simétrico, podemos simplificar a integral considerando uma superfície circular de raio $ r $ dentro do cilindro. Então:
Passo 4
Vamos resolver a integral:
Agora, vamos derivar isso em relação ao tempo $ t $ para encontrar $ \frac{d\Phi_B}{dt} $:
Passo 5
Aplicando a Lei de Faraday:
Como o campo elétrico $ \vec{E} $ é simétrico e tangencial, podemos simplificar a integral como:
Resolvendo para $ E $:
Resposta
O campo elétrico induzido no interior da região cilíndrica é dado por: