Um campo magnético não uniforme preenche um volume cilíndrico de raio R. Se a magnitude do campo magnético é dada por B=k t^2 r, onde k é uma constante positiva, t é o tempo e r é a distância ao eixo do volume cilíndrico:
determine o campo elétrico induzido no interior da região cilíndrica;

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem um campo magnético que não é uniforme dentro de um cilindro de raio $ R $. A intensidade desse campo magnético é dada por $ B = k t^{2} r $, onde $ k $ é uma constante positiva, $ t $ é o tempo e $ r $ é a distância até o eixo do cilindro. Nosso objetivo aqui é encontrar o campo elétrico que é induzido dentro dessa região cilíndrica. Para resolver isso, vamos precisar usar a Lei de Faraday da Indução Eletromagnética e entender como o campo magnético variável no tempo gera um campo elétrico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que diz a Lei de Faraday. Ela nos diz que uma variação no fluxo magnético através de uma superfície cria um campo elétrico ao redor dessa superfície. A fórmula da Lei de Faraday é:
oint E cdot dl = -dPhiBdt
Aqui, $ \oint \vec{E} \cdot d\vec{l} $ é a integral de linha do campo elétrico ao redor de um caminho fechado, e $ \Phi_B $ é o fluxo magnético passando por essa superfície.

Passo 3

Vamos calcular o fluxo magnético $ \Phi_B $. O fluxo magnético é dado por:
PhiB
Como o campo magnético $ B = k t^{2} r $ é radialmente dependente e o cilindro é simétrico, podemos simplificar a integral considerando uma superfície circular de raio $ r $ dentro do cilindro. Então:
PhiB = integral B cdot dA

Passo 4

Vamos resolver a integral:
PhiB = k t^2 (2pi) [ r'^33 ]0^r = 2pi k t^2 r^33
Agora, vamos derivar isso em relação ao tempo $ t $ para encontrar $ \frac{d\Phi_B}{dt} $:
t

Passo 5

Aplicando a Lei de Faraday:
oint E cdot dl = -4pi k t r^33
Como o campo elétrico $ \vec{E} $ é simétrico e tangencial, podemos simplificar a integral como:
E
Resolvendo para $ E $:
E cdot 2pi r = -4pi k t r^33

Resposta

O campo elétrico induzido no interior da região cilíndrica é dado por:
E = -2 k t r^23 , theta

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