Para um campo magnético uniforme e independente do tempo, B(r, t)=B0 , verifique que é possível a escolha de um potencial vetorial magnético da forma A=alpha r times B0 e determine o valor da constante alpha.
Escolha um segundo potencial vetorial magnético (A^prime) para o mesmo campo magnético B(r, t)=B0, obedecendo à condição de que o novo potencial deve ser diferente do potencial A dado acima por um termo não constante. Ou seja A^prime=A+c(r), onde c(r) é um campo vetorial não constante e que deve ser escolhido.

Passo 1

O enunciado pede um potencial vetorial A tal que
nabla times A = B0,,
sabendo que B0 é constante e independente do tempo. Vamos testar a forma
A = alpha,l(rtimes B0r)
e determinar alpha usando identidades de cálculo vetorial.

Passo 2

Calculemos o rotacional de A:
nabla times A = alpha,nabla times (rtimes B0),
Como B0 é constante, vale a identidade
nabla times (rtimes B0) = 2,B0,,
logo
nabla times A = 2,alpha,B0,
Para que isto seja igual a B0, impomos
2,alpha = 1 Longrightarrow alpha = tfrac12,

Passo 3

Portanto um potencial que gera B0 é
boxedA = tfrac12,l(rtimes B0r)

Passo 4

Como a lei de gauge diz que podemos somar ao potencial um campo c(r) com
nabla times c = 0 sem alterar B, basta escolher c = nabla chi com chi não constante. Por exemplo, tome
chi(r) = x,y(não constante) ã
então
c(r) = nabla(xy) = (y,,x,,0)
e definimos
A' = A + c(r) = tfrac12,(rtimes B0) + (y,,x,,0)
Verifica-se facilmente que
nablatimesc = 0, logo
nabla times A' = nabla times A = B0.

Resposta

alpha = tfrac12
Um segundo potencial vetorial é, por exemplo,
A' = 12,(rtimes B0) + nabla(xy) = 12,(rtimes B0) + (y,,x,,0)

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