O campo de massas específicas de um escoamento é descrito por:
\rho=680-2 \frac{x}{y}+0,8 \frac{z}{x}-6 \cdot e^{-0,1 \cdot t}
Calcule a massa específica do elemento fluido localizado no ponto \mathrm{P}=(1,2,1) para os instantes de tempo:
\mathrm{t}=0 \mathrm{~s}

Passo 1

O enunciado fornece o campo de massa específica
\rho = 680 - 2\,\frac{x}{y} + 0,8\,\frac{z}{x} - 6\,e^{-0,1\cdot t}
e diz que o elemento fluido está no ponto \mathrm{P}=(1,2,1). Pede-se calcular a massa específica desse elemento para o instante \,t=0\\ \text{s}.
Informações relevantes que temos:
  • A expressão de \rho em função de x, y, z e t.
  • As coordenadas do ponto: x=1, y=2, z=1 (peguei estes valores do enunciado \mathrm{P}=(1,2,1)).
  • O instante de tempo: t=0\\ \text{s} (fornecido no enunciado).
  • Objetivo: avaliar numericamente \rho em (x,y,z,t)=(1,2,1,0).

Passo 2

Explicação do procedimento geral (passo a passo mental):
  • Para obter a massa específica no ponto e instante dados, basta substituir na fórmula os valores de x, y, z e t e calcular o resultado.
  • Vou calcular term por term para evitar erros e depois somar tudo direitinho.

Passo 3

Substituição dos valores na expressão. Colocando x=1, y=2, z=1 e t=0 em
\rho = 680 - 2\,\frac{x}{y} + 0,8\,\frac{z}{x} - 6\,e^{-0,1\cdot t},
obtém-se
\rho(1,2,1,0) = 680 - 2\,\frac{1}{2} + 0,8\,\frac{1}{1} - 6\,e^{-0,1\cdot 0}.

Passo 4

Cálculo de cada termo isoladamente, explicando as operações:
  • Primeiro termo: 680 (é uma constante).
  • Segundo termo: -2\,\dfrac{1}{2}. Como \dfrac{1}{2}=0,5, temos -2\,\frac{1}{2} = -2\cdot 0,5 = -1.
  • Terceiro termo: 0,8\,\dfrac{1}{1}. Como \dfrac{1}{1}=1, 0,8\,\frac{1}{1} = 0,8\cdot 1 = 0,8.
  • Quarto termo: -6\,e^{-0,1\cdot 0}. Aqui note que -0,1\cdot 0 = 0 e que e^{0}=1 (propriedade básica da exponencial). Portanto -6\,e^{-0,1\cdot 0} = -6\,e^{0} = -6\cdot 1 = -6.

Passo 5

Somando os termos calculados, passo a passo:
\begin{aligned} \rho(1,2,1,0) &= 680 + (-1) + 0,8 + (-6) \\\ &= 680 - 1 + 0,8 - 6. \end{aligned}
Agora acumulando em etapas fáceis:
680 - 1 = 679,
679 + 0,8 = 679,8,
679,8 - 6 = 673,8.

Passo 6

Conclusão e observações rápidas:
  • O valor final obtido para a massa específica no ponto e instante pedidos é \rho(1,2,1,0)=673,8.
  • Se for necessário, o resultado pode ser interpretado na unidade padrão de massa específica, normalmente \mathrm{kg\,m^{-3}}, salvo indicação contrária no enunciado.

Resposta

\rho(1,2,1,0)=673,8\\ \mathrm{kg\,m^{-3}}

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