Um campo potencial é dado por . Sabendo que o ponto está na superfície do condutor e que ele está situado no vácuo, determinar o vetor unitário normal à superfície bem como a densidade superficial de carga no condutor.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que está rolando.
Temos um potencial elétrico dado por
O ponto está na superfície de um condutor no vácuo. A gente precisa achar:
o vetor unitário normal à superfície naquele ponto, e
a densidade de carga superficial no condutor.
Conteúdo envolvido:
Gradiente de um potencial () e campo elétrico .
Relação entre salto do campo normal e densidade de carga: .
Para resolver, vamos:
calcular ,
avaliar em ,
achar o (unidade normal apontando pro vácuo),
usar .
Passo 2
Primeiro, lembra que o gradiente é
E como não depende de , .
Pra e usamos a regra .
Então escrevemos:
com
Isso dá
Passo 3
Agora avaliamos em .
Calculemos primeiro e lá:
Então
E . Logo
Passo 4
O campo elétrico é E(P)=(40,;80,;0) , então em |E|=raiz40^2+80^2+0^2 =raiz1600+6400 =40raiz5 :
n =E|E| =(40,80,0)40raiz5 =l(tfrac1raiz5,,tfrac2raiz5,,0r)
A normal à superfície do condutor aponta pra fora (pro vácuo), e isso coincide com a direção de logo fora da superfície.
O módulo de é
Logo, o vetor unitário normal é
Passo 5
Pra densidade de carga superficial usamos a condição de contorno em condutor:
sigma=varepsilon0,En =varepsilon0,|E|
Então
sigma =varepsilon0,(40raiz5)
Se quiser valor numérico, sigmaapprox40raiz5times8,85times10^-12 approx8,0times10^-10,C/m^2 ,
dá