Um campo potencial é dado por V=100 ln [(x+1)^2+y^2] /[(x-1)^2+y^2] V. Sabendo que o ponto P(2,1,1) está na superfície do condutor e que ele está situado no vácuo, determinar o vetor unitário normal à superfície bem como a densidade superficial de carga no condutor.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que está rolando.
Temos um potencial elétrico dado por
V(x,y)=100ln!gl((x+1)^2+y^2(x-1)^2+y^2gr)[V]
O ponto está na superfície de um condutor no vácuo. A gente precisa achar:
  1. o vetor unitário normal à superfície naquele ponto, e
  2. a densidade de carga superficial no condutor.
Conteúdo envolvido:
  • Gradiente de um potencial ( ) e campo elétrico .
  • Relação entre salto do campo normal e densidade de carga: .
Para resolver, vamos:
  1. calcular ,
  2. avaliar em ,
  3. achar o (unidade normal apontando pro vácuo),
  4. usar .

Passo 2

Primeiro, lembra que o gradiente é
nabla V=l(partial Vpartial x,;partial Vpartial y,;partial Vpartial zr)
E como V=100l[ln(N)-ln(D)r], não depende de N=(x+1)^2+y^2, D=(x-1)^2+y^2 , partial Vpartial x =100l(1Npartial Npartial x-1Dpartial Dpartial xr) =100l(2(x+1)N-2(x-1)Dr), .
Pra partial Vpartial y =100l(2yN-2yDr) e usamos a regra
.
Então escrevemos:
com
Isso dá

Passo 3

Agora avaliamos em N=(2+1)^2+1^2=9+1=10, D=(2-1)^2+1^2=1+1=2 .
Calculemos primeiro partial Vpartial x|P =100l(2cdot310-2cdot12r) =100l(0.6-1r) =100(-0.4) =-40, e partial Vpartial y|P =100l(2cdot110-2cdot12r) =100(0.2-1) =100(-0.8) =-80 lá:
nabla V(P)=(-40,,-80,,0)
Então
E . Logo

Passo 4

O campo elétrico é E(P)=(40,;80,;0) , então em |E|=raiz40^2+80^2+0^2 =raiz1600+6400 =40raiz5 :
n =E|E| =(40,80,0)40raiz5 =l(tfrac1raiz5,,tfrac2raiz5,,0r)
A normal à superfície do condutor aponta pra fora (pro vácuo), e isso coincide com a direção de logo fora da superfície.
O módulo de é
Logo, o vetor unitário normal é

Passo 5

Pra densidade de carga superficial usamos a condição de contorno em condutor:
sigma=varepsilon0,En =varepsilon0,|E|
Então
sigma =varepsilon0,(40raiz5)
Se quiser valor numérico,
sigmaapprox40raiz5times8,85times10^-12 approx8,0times10^-10,C/m^2 ,

Resposta

Vetor normal unitário:
n=l(tfrac1raiz5,,tfrac2raiz5,,0r)
Densidade de carga superficial:
sigma=40raiz5,varepsilon0(approx8,0times10^-10,C/m^2)

Exercícios relacionados