em coordenadas cilíndricas. (a) Se a região
é vácuo e as superfícies
e
são condutoras, especifique a densidade superficial de carga em cada condutor. (b) Qual é a carga ao longo de 1 m de comprimento da região onde há vácuo? © Qual é a carga total ao longo de 1 m de comprimento, incluindo ambas as cargas superficiais?
Passo 1
Beleza, então o enunciado diz que a gente tem o potencial elétrico
numa região de “vácuo” entre dois cilindros condutores de raios
Matéria: eletrostática em coordenadas cilíndricas.
O que precisamos saber:
1) Como se relacionam campo e potencial:
2) Densidade superficial de carga num condutor:
3) Densidade volumétrica de carga a partir do potencial:
4) Para achar carga por comprimento usamos integrais em
Passo 2
Calcular a densidade superficial em cada condutor.
- Vamos achar o campo radial:
2) No cilindro interno (), o normal apontando para o vácuo é , então
$$\sigma_{,\rm int}=\varepsilon_0,E_n=\varepsilon_0,E_\rho\Big|_{\rho=0.1}=\varepsilon_0\bigl(-2000\cdot0.1\bigr)=-200,\varepsilon_0\quad[\rm C/m^2].\sigma_{,\rm ext}=\varepsilon_0,(E\cdot(-\hat\rho))=-\varepsilon_0,E_\rho\Big|_{\rho=0.3}
=-\varepsilon_0\bigl(-2000\cdot0.3\bigr)=+600,\varepsilon_0\quad[\rm C/m^2].$$
Passo 3
Agora a carga volumétrica no vácuo:
Em cilíndricas sem dependência de
$$\nabla^2V
=\frac1\rho\frac{\partial}{\partial\rho}\Bigl(\rho,\frac{\partial V}{\partial\rho}\Bigr)
=\frac1\rho\frac{d}{d\rho}\bigl(\rho\cdot2000\rho\bigr)
=\frac1\rho\frac{d}{d\rho}(2000\rho^2)
=\frac{4000\rho}{\rho}
=\frac1\rho\frac{d}{d\rho}\bigl(\rho\cdot2000\rho\bigr)
=\frac1\rho\frac{d}{d\rho}(2000\rho^2)
=\frac{4000\rho}{\rho}
=4000,.
\rho_v=-\varepsilon_0\cdot4000=-4000,\varepsilon_0\quad[\rm C/m^3].$$
A carga por metro na região
é
Passo 4
Pra conferir a carga das superfícies como linha por metro:
– Cilindro interno:
– Cilindro interno:
– Cilindro externo:
Passo 5
Carga total por metro somando tudo:
Resposta
a)
,
(em C/m²).
b) (cerca de
C/m).
c) C/m.
b)
c)