V=1000 rho^2 em coordenadas cilíndricas. (a) Se a região 0,1 é vácuo e as superfícies rho=0,1 m e rho=0,3 m são condutoras, especifique a densidade superficial de carga em cada condutor. (b) Qual é a carga ao longo de 1 m de comprimento da região onde há vácuo? © Qual é a carga total ao longo de 1 m de comprimento, incluindo ambas as cargas superficiais?

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz que a gente tem o potencial elétrico
V(rho)=1000,rho^2
numa região de “vácuo” entre dois cilindros condutores de raios
e .
Matéria: eletrostática em coordenadas cilíndricas.
O que precisamos saber:
1) Como se relacionam campo e potencial: .
2) Densidade superficial de carga num condutor:
(com componente normal do campo no lado do vácuo).
3) Densidade volumétrica de carga a partir do potencial:
.
4) Para achar carga por comprimento usamos integrais em .

Passo 2

Calcular a densidade superficial em cada condutor.
  1. Vamos achar o campo radial: Erho=-partial Vpartial rho=-ddrho(1000,rho^2)=-2000,rho,
    2) No cilindro interno ( sigma,rm int=varepsilon0,En=varepsilon0,Erho|rho=0.1 =varepsilon0l(-2000cdot0.1r) =-200,varepsilon0[rm C/m^2]), o normal apontando para o vácuo é sigma,rm ext=varepsilon0,(Ecdot(-hatrho)) =-varepsilon0,Erho|rho=0.3 =-varepsilon0l(-2000cdot0.3r) =+600,varepsilon0[rm C/m^2], então
    $$\sigma_{,\rm int}=\varepsilon_0,E_n=\varepsilon_0,E_\rho\Big|_{\rho=0.1}=\varepsilon_0\bigl(-2000\cdot0.1\bigr)=-200,\varepsilon_0\quad[\rm C/m^2].\sigma_{,\rm ext}=\varepsilon_0,(E\cdot(-\hat\rho))=-\varepsilon_0,E_\rho\Big|_{\rho=0.3}
    =-\varepsilon_0\bigl(-2000\cdot0.3\bigr)=+600,\varepsilon_0\quad[\rm C/m^2].$$

Passo 3

Agora a carga volumétrica no vácuo:
rhov=-varepsilon0,nabla^2V,
Em cilíndricas sem dependência de nabla^2V =1rhopartialpartialrhol(rho,partial Vpartialrhor) =1rhoddrhol(rhocdot2000rhor) =1rhoddrho(2000rho^2) =4000rhorho =4000, vale
$$\nabla^2V
=\frac1\rho\frac{\partial}{\partial\rho}\Bigl(\rho,\frac{\partial V}{\partial\rho}\Bigr)
=\frac1\rho\frac{d}{d\rho}\bigl(\rho\cdot2000\rho\bigr)
=\frac1\rho\frac{d}{d\rho}(2000\rho^2)
=\frac{4000\rho}{\rho}
=4000,. rhov=-varepsilon0cdot4000=-4000,varepsilon0[rm C/m^3]ã\rho_v=-\varepsilon_0\cdot4000=-4000,\varepsilon_0\quad[\rm C/m^3].$$
A carga por metro na região lambdav =integral0.1^0.3rhov;2pirho,drho =-4000varepsilon0;2piintegral0.1^0.3rho,drho =-4000varepsilon0;2picdot0.3^2-0.1^22 =-320pi,varepsilon0[rm C/m] é

Passo 4

Pra conferir a carga das superfícies como linha por metro:
– Cilindro interno:
lambdarm int =sigmarm intcdot2pi(0.1) =(-200varepsilon0),2picdot0.1 =-40pi,varepsilon0
– Cilindro externo:
lambdarm ext =sigmarm extcdot2pi(0.3) =(+600varepsilon0),2picdot0.3 =+360pi,varepsilon0

Passo 5

Carga total por metro somando tudo:
lambdarm total =lambdav+lambdarm int+lambdarm ext =(-320pi+,-40pi+360pi)varepsilon0 =0,

Resposta

a) , (em C/m²).
b) (cerca de C/m).
c) C/m.

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