Um campo de potencial é dado por
-
para
(região I)
-
para
(região II)
-
para
(região III)
Como é o comportamento da função de onda de uma partícula de energia
nas regiões I, II e III, respectivamente?
Passo 1
O enunciado dá um potencial em 1D dividido em três regiões e pergunta como a função de onda se comporta em cada uma delas. As informações relevantes são:
- Região I:
para . - Região II:
para . - Região III:
para .
A partícula tem energia total. A pergunta é: qual é o comportamento (forma funcional) da função de onda em cada região I, II e III, respectivamente?
Passo 2
Vamos lembrar a equação de Schrödinger independente do tempo em 1D para uma energia estacionária:
Rearranjando:
Dessa equação vêm dois tipos de soluções dependendo do sinal de
:
- Se
: temos soluções oscilatórias (ondas planas) do tipo , com
Físicamente isso significa que a partícula tem energia cinética positiva ali e existe corrente de probabilidade (fluxo).
- Se
: temos soluções exponenciais reais do tipo , com
Isto indica região classically proibida: a onda decai ou cresce exponencialmente; o termo que cresce à direita (quando
deve ser finita) é descartado.
Passo 3
Aplicando à Região I (
,
):
- Calculamos
, então a solução é oscilatória. - Definimos
- A solução geral é combinação de ondas viajantes:
Interpretação física: um termo representa a onda incidente (por exemplo
vindo da esquerda) e o outro a onda refletida (
).
Passo 4
Aplicando à Região II (
,
):
- Agora
, portanto também é uma região clássica permitida (solução oscilatória). - O número de onda é
(ou seja, a energia cinética é maior aqui e as oscilações são mais rápidas).
- A solução geral interna é
Física: combinações de ondas para frente e para trás dentro do poço/região de largura
; os coeficientes serão determinados impondo continuidade de
e
em
e
.
Passo 5
Aplicando à Região III (
,
):
- Aqui
, então é uma região classically proibida e a solução é exponencial real. - Calculamos
Observação interessante: o
desta região coincide numericamente com
.
- A solução geral seria
, mas como a região vai até devemos rejeitar a solução que cresce exponencialmente para a direita. Portanto:
Física: a onda penetra exponencialmente (efeito de tunelamento/penetração evanescente), mas não há corrente transmitida para
(o fluxo lá é nulo).
Passo 6
Resumo físico e observações úteis para a prova:
- Regiões com
→ soluções oscilatórias ( ), representam partículas livres/propagantes naquela região. - Regiões com
→ soluções exponenciais ( ), representam penetração evanescente (amplitude decai). - Aqui: Região I e II são permissivas (oscilações); Região II tem maior
(ondas mais rápidas) porque a energia cinética local é . Região III é proibida, com decaimento exponencial com constante . - Para determinar coeficientes numéricos (reflexão/transmissão) seria preciso aplicar as condições de contorno em
e : continuidade de e .
Resposta
Região I:
\n
Região II: \n
Região III:
Região II:
Região III: