Um campo de potencial é dado por
  • V(x)=0 para x (região I)
  • V(x)=-E para 0 \leq x \leq L (região II)
  • V(x)=2 E para x>L (região III)
Como é o comportamento da função de onda de uma partícula de energia E nas regiões I, II e III, respectivamente?

Passo 1

O enunciado dá um potencial em 1D dividido em três regiões e pergunta como a função de onda se comporta em cada uma delas. As informações relevantes são:
  • Região I: V(x)=0 para x<0.
  • Região II: V(x)=-E para 0\le x\le L.
  • Região III: V(x)=2E para x>L.
    A partícula tem energia total E. A pergunta é: qual é o comportamento (forma funcional) da função de onda \psi(x) em cada região I, II e III, respectivamente?

Passo 2

Vamos lembrar a equação de Schrödinger independente do tempo em 1D para uma energia estacionária:
-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{d^{2}\psi}{dx^{2}}+V(x)\psi=E\psi.
Rearranjando:
\frac{d^{2}\psi}{dx^{2}}+\frac{2m}{\hbar^{2}}\bigl(E-V(x)\bigr)\psi=0.
Dessa equação vêm dois tipos de soluções dependendo do sinal de E-V:
  • Se E-V>0: temos soluções oscilatórias (ondas planas) do tipo e^{\pm i k x}, com
k=\sqrt{\frac{2m(E-V)}{\hbar^{2}}}.
Físicamente isso significa que a partícula tem energia cinética positiva ali e existe corrente de probabilidade (fluxo).
  • Se E-V<0: temos soluções exponenciais reais do tipo e^{\pm \kappa x}, com
\kappa=\sqrt{\frac{2m(V-E)}{\hbar^{2}}}.
Isto indica região classically proibida: a onda decai ou cresce exponencialmente; o termo que cresce à direita (quando \psi deve ser finita) é descartado.

Passo 3

Aplicando à Região I ( V=0, x<0):
  • Calculamos E-V=E>0, então a solução é oscilatória.
  • Definimos
k_{1}=\sqrt{\frac{2mE}{\hbar^{2}}}.
  • A solução geral é combinação de ondas viajantes:
\psi_{I}(x)=A\,e^{ik_{1}x}+B\,e^{-ik_{1}x}.
Interpretação física: um termo representa a onda incidente (por exemplo A e^{ik_{1}x} vindo da esquerda) e o outro a onda refletida ( B e^{-ik_{1}x}).

Passo 4

Aplicando à Região II ( V=-E, 0\le x\le L):
  • Agora E-V=E-(-E)=2E>0, portanto também é uma região clássica permitida (solução oscilatória).
  • O número de onda é
k_{2}=\sqrt{\frac{2m(E-V)}{\hbar^{2}}}=\sqrt{\frac{2m(2E)}{\hbar^{2}}}=\sqrt{2}\,k_{1}.
(ou seja, a energia cinética é maior aqui e as oscilações são mais rápidas).
  • A solução geral interna é
\psi_{II}(x)=C\,e^{ik_{2}x}+D\,e^{-ik_{2}x}.
Física: combinações de ondas para frente e para trás dentro do poço/região de largura L; os coeficientes serão determinados impondo continuidade de \psi e \psi' em x=0 e x=L.

Passo 5

Aplicando à Região III ( V=2E, x>L):
  • Aqui E-V=E-2E=-E<0, então é uma região classically proibida e a solução é exponencial real.
  • Calculamos
\kappa=\sqrt{\frac{2m(V-E)}{\hbar^{2}}}=\sqrt{\frac{2mE}{\hbar^{2}}}=k_{1}.
Observação interessante: o \kappa desta região coincide numericamente com k_{1}.
  • A solução geral seria F\,e^{-\kappa x}+G\,e^{+\kappa x}, mas como a região vai até x\to+\infty devemos rejeitar a solução que cresce exponencialmente para a direita. Portanto:
\psi_{III}(x)=F\,e^{-\kappa x}\quad\text{com}\quad \kappa=k_{1}.
Física: a onda penetra exponencialmente (efeito de tunelamento/penetração evanescente), mas não há corrente transmitida para x\to\infty (o fluxo lá é nulo).

Passo 6

Resumo físico e observações úteis para a prova:
  • Regiões com E>V → soluções oscilatórias ( e^{\pm i k x}), representam partículas livres/propagantes naquela região.
  • Regiões com E<V → soluções exponenciais ( e^{\pm \kappa x}), representam penetração evanescente (amplitude decai).
  • Aqui: Região I e II são permissivas (oscilações); Região II tem maior k (ondas mais rápidas) porque a energia cinética local é E-(-E)=2E. Região III é proibida, com decaimento exponencial com constante \kappa=k_{1}.
  • Para determinar coeficientes numéricos (reflexão/transmissão) seria preciso aplicar as condições de contorno em x=0 e x=L: continuidade de \psi e \psi'.

Resposta

Região I: \psi_{I}(x)=A\,e^{ik_{1}x}+B\,e^{-ik_{1}x},\qquad k_{1}=\sqrt{\dfrac{2mE}{\hbar^{2}}}.\n
Região II: \psi_{II}(x)=C\,e^{ik_{2}x}+D\,e^{-ik_{2}x},\qquad k_{2}=\sqrt{\dfrac{4mE}{\hbar^{2}}}=\sqrt{2}\,k_{1}.\n
Região III: \psi_{III}(x)=F\,e^{-\kappa x},\qquad \kappa=\sqrt{\dfrac{2mE}{\hbar^{2}}}=k_{1}.

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