A função de onda de uma partícula é \psi(x)=A \cdot\left(4-x^{2}\right) no intervalo x=-2 a x=2 e zero fora deste intervalo. Determine a constante A para que a função \psi seja normalizada.
Passo 1
O enunciado dá a função de onda
\psi(x)=A\cdot\bigl(4-x^{2}\bigr)
para x no intervalo [-2,2] e \psi(x)=0 fora desse intervalo. Pede-se determinar a constante A tal que \psi esteja normalizada (ou seja, a norma total da função de onda seja 1). Essas são as informações relevantes e a pergunta do problema.
Passo 2
O que significa “normalizar” a função de onda? Em mecânica quântica a normalização exige que a probabilidade total de encontrar a partícula em todo o espaço seja 1. Para uma função de onda \psi(x) isso vira a condição
\int_{-\infty}^{\infty} |\psi(x)|^{2}\,dx = 1.
Aqui \psi(x) é real no intervalo dado, então |\psi(x)|^{2}=\psi(x)^{2}. Vamos aplicar essa condição ao nosso caso.
Passo 3
Como \psi(x)=0 fora de [-2,2], a integral sobre todo o eixo reduz-se à integral em [-2,2]. Assim a condição de normalização dá
Antes de integrar, observo uma simetria útil: a função \bigl(4-x^{2}\bigr)^{2} é par (ou seja, igual para x e para -x). Isso permite escrever a integral em [-2,2] como o dobro da integral em [0,2]: