A função de onda de uma partícula é \psi(x)=A \cdot\left(4-x^{2}\right) no intervalo x=-2 a x=2 e zero fora deste intervalo. Determine a constante A para que a função \psi seja normalizada.

Passo 1

O enunciado dá a função de onda
\psi(x)=A\cdot\bigl(4-x^{2}\bigr)
para x no intervalo [-2,2] e \psi(x)=0 fora desse intervalo. Pede-se determinar a constante A tal que \psi esteja normalizada (ou seja, a norma total da função de onda seja 1). Essas são as informações relevantes e a pergunta do problema.

Passo 2

O que significa “normalizar” a função de onda? Em mecânica quântica a normalização exige que a probabilidade total de encontrar a partícula em todo o espaço seja 1. Para uma função de onda \psi(x) isso vira a condição
\int_{-\infty}^{\infty} |\psi(x)|^{2}\,dx = 1.
Aqui \psi(x) é real no intervalo dado, então |\psi(x)|^{2}=\psi(x)^{2}. Vamos aplicar essa condição ao nosso caso.

Passo 3

Como \psi(x)=0 fora de [-2,2], a integral sobre todo o eixo reduz-se à integral em [-2,2]. Assim a condição de normalização dá
\int_{-2}^{2} \bigl[A\bigl(4-x^{2}\bigr)\bigr]^{2} dx = 1.
Podemos tirar A^{2} fora da integral (pois A é constante):
A^{2}\int_{-2}^{2} \bigl(4-x^{2}\bigr)^{2} dx = 1.

Passo 4

Antes de integrar, observo uma simetria útil: a função \bigl(4-x^{2}\bigr)^{2} é par (ou seja, igual para x e para -x). Isso permite escrever a integral em [-2,2] como o dobro da integral em [0,2]:
\int_{-2}^{2} \bigl(4-x^{2}\bigr)^{2} dx = 2\int_{0}^{2} \bigl(4-x^{2}\bigr)^{2} dx.
Usamos essa simetria para simplificar contas na prova.

Passo 5

Expandimos o quadrado para integrar termo a termo:
\bigl(4-x^{2}\bigr)^{2} = 16 - 8x^{2} + x^{4}.
Portanto
2\int_{0}^{2} \bigl(4-x^{2}\bigr)^{2} dx = 2\int_{0}^{2} \bigl(16 - 8x^{2} + x^{4}\bigr)\,dx.

Passo 6

Agora aplicamos a regra básica de integração de potências: para n\neq -1,
\int x^{n} dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}.
Vamos usar isso em cada termo. Primeiro calculamos as integrais em [0,2] separadamente:
\int_{0}^{2} 16\,dx = 16\bigl[x\bigr]_{0}^{2} = 16\cdot 2 = 32,
\int_{0}^{2} 8x^{2}\,dx = 8\cdot\frac{x^{3}}{3}\Big|_{0}^{2} = 8\cdot\frac{2^{3}}{3} = 8\cdot\frac{8}{3} = \frac{64}{3},
\int_{0}^{2} x^{4}\,dx = \frac{x^{5}}{5}\Big|_{0}^{2} = \frac{2^{5}}{5} = \frac{32}{5}.
Note que no segundo termo havia sinal negativo na expansão; vamos colocar sinais corretamente ao combinar.

Passo 7

Combinando os resultados e lembrando do fator 2 da simetria, temos
\int_{-2}^{2} \bigl(4-x^{2}\bigr)^{2} dx = 2\Bigl(32 - \frac{64}{3} + \frac{32}{5}\Bigr).
Vamos achar um denominador comum para somar os termos dentro do parêntese. O denominador comum para 1, 3 e 5 é 15. Convertendo:
32 = \frac{480}{15},\qquad \frac{64}{3}=\frac{320}{15},\qquad \frac{32}{5}=\frac{96}{15}.
Então
32 - \frac{64}{3} + \frac{32}{5} = \frac{480-320+96}{15} = \frac{256}{15}.
Multiplicando pelo 2
\int_{-2}^{2} \bigl(4-x^{2}\bigr)^{2} dx = 2\cdot\frac{256}{15} = \frac{512}{15}.

Passo 8

Voltando à condição de normalização A^{2} vezes essa integral deve ser 1:
A^{2}\cdot \frac{512}{15} = 1.
Isolando A^{2} obtemos
A^{2} = \frac{15}{512}.

Passo 9

Tirando raiz quadrada em ambos os lados, obtemos
A = \pm\sqrt{\frac{15}{512}}.
Podemos simplificar a raiz: como 512=2^{9} tem \sqrt{512}=2^{4}\sqrt{2}=16\sqrt{2}, então
A = \pm\frac{\sqrt{15}}{16\sqrt{2}}.
Multiplicando numerador e denominador por \sqrt{2} para racionalizar, fica
A = \pm\frac{\sqrt{30}}{32}.
Na prática física o sinal global não altera probabilidades, então costuma-se escolher a versão positiva como convenção.

Resposta

A=\pm \dfrac{\sqrt{30}}{32}

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