Seja
um aberto de
que satisfaz a seguinte propriedade: existe
tal que, para todo
, a poligonal de vértices
e
está contida em
. Seja
um campo vetorial em
, de classe
,
Nestas condições, se
em
, mostre que a função
, definida por:
satisfaz
.
Passo 1
O enunciado define um aberto
com a propriedade de que, fixado
, para todo
toda a poligonal
está em
. Temos um campo
de classe
em
e a condição
, ou seja
Definimos
Queremos mostrar que
Passo 2
Como
e
são
, podemos derivar sob o sinal de integral. Para a derivada parcial de
em relação a
temos
pois esse termo não depende de
, e
pelo Teorema Fundamental do Cálculo. Logo
Passo 3
Para a derivada parcial de
em relação a
obtemos
e
Como
implica
, segue
Resposta
Mostramos que
logo
.