Seja \Omega um aberto de \mathbb{R}^{2} que satisfaz a seguinte propriedade: existe \left(x_{0}, y_{0}\right) \in \Omega tal que, para todo (x, y) \in \Omega, a poligonal de vértices \left(x_{0}, y_{0}\right),\left(x_{0}, y\right) e (x, y) está contida em \Omega. Seja \vec{F} um campo vetorial em \Omega, de classe C^{1},
\vec{F}(x, y)=P(x, y) \vec{\imath}+Q(x, y) \vec{\jmath}, \quad(x, y) \in \Omega
Nestas condições, se \operatorname{rot} \vec{F}=\vec{\theta} em \Omega, mostre que a função f: \Omega \rightarrow \mathbb{R}, definida por:
f(x, y)=\int_{y_{0}}^{y} Q\left(x_{0}, t\right) d t+\int_{x_{0}}^{x} P(t, y) d t, \quad(x, y) \in \Omega
satisfaz \nabla f(x, y)=\vec{F}(x, y).

Passo 1

O enunciado define um aberto \Omega\subset\mathbb{R}^2 com a propriedade de que, fixado (x_0,y_0)\in\Omega, para todo (x,y)\in\Omega toda a poligonal
(x_0,y_0)\;\longrightarrow\;(x_0,y)\;\longrightarrow\;(x,y)
está em \Omega. Temos um campo \vec F=(P,Q) de classe C^1 em \Omega e a condição \operatorname{rot}\vec F=0, ou seja
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=0\quad\text{em }\Omega.
Definimos
f(x,y)=\int_{y_0}^{y}Q(x_0,t)\,dt\;+\;\int_{x_0}^{x}P(t,y)\,dt.
Queremos mostrar que
\nabla f(x,y)=\bigl(f_x(x,y),\,f_y(x,y)\bigr)=\bigl(P(x,y),\,Q(x,y)\bigr)=\vec F(x,y).

Passo 2

Como P e Q são C^1, podemos derivar sob o sinal de integral. Para a derivada parcial de f em relação a x temos
\frac{\partial}{\partial x}\!\Bigl[\!\!\int_{y_0}^{y}Q(x_0,t)\,dt\Bigr]=0,
pois esse termo não depende de x, e
\frac{\partial}{\partial x}\!\Bigl[\!\!\int_{x_0}^{x}P(t,y)\,dt\Bigr] =P(x,y)
pelo Teorema Fundamental do Cálculo. Logo
f_x(x,y)=P(x,y).

Passo 3

Para a derivada parcial de f em relação a y obtemos
\frac{\partial}{\partial y}\!\Bigl[\!\!\int_{y_0}^{y}Q(x_0,t)\,dt\Bigr] =Q(x_0,y)
e
\frac{\partial}{\partial y}\!\Bigl[\!\!\int_{x_0}^{x}P(t,y)\,dt\Bigr] =\int_{x_0}^{x}\frac{\partial P}{\partial y}(t,y)\,dt.
Como \operatorname{rot}\vec F=0 implica \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x, segue
f_y(x,y) =Q(x_0,y)+\int_{x_0}^{x}\frac{\partial Q}{\partial x}(t,y)\,dt =Q(x_0,y)+\Bigl[\,Q(x,y)-Q(x_0,y)\Bigr] =Q(x,y).

Resposta

Mostramos que
f_x(x,y)=P(x,y), \quad f_y(x,y)=Q(x,y),
logo \nabla f(x,y)=\vec F(x,y).

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