Um campo de velocidade bidimensional incompressível e em regime permanente é dado por: V=(x-2) i+(x-y) j.
Calcule o vetor aceleração no ponto (1 m ; 2 m) e o localize no plano xy, dando sua orientação (ângulo que ele forma com o semi-eixo positivo x)

Passo 1

Beleza, cara! O enunciado diz que temos um campo de velocidade 2D, incompressível e em regime permanente:
vec a = (vec V cdot nabla),vec V .
A matéria aqui é Dinâmica de Fluidos básica, mais especificamente cálculo de aceleração de um escoamento steady (permanente). Como é steady, não tem derivada temporal, então a aceleração é só a parte convectiva:
Pra resolver, vamos precisar:
  1. entender a expressão de ,
  2. calcular derivadas parciais de e ,
  3. avaliar tudo no ponto ,
  4. achar o ângulo em relação ao eixo .

Passo 2

Teoria rapidinha:
Num escoamento steady, a aceleração total é
vec a = (vec V cdot nabla),vec V
que em componentes ax = u,partial upartial x + v,partial upartial y, ay = u,partial vpartial x + v,partial vpartial y
Aqui e .

Passo 3

Bora achar as derivadas parciais:
partial upartial x = partial (x-2)partial x = 1, partial upartial y = 0,
partial vpartial x = partial (x-y)partial x = 1, partial vpartial y = partial (x-y)partial y = -1

Passo 4

Agora, no ponto u(1,2) = 1 - 2 = -1, v(1,2) = 1 - 2 = -1 :
ax = (-1)cdot 1 + (-1)cdot 0 = -1,
Então
ay = (-1)cdot 1 + (-1)cdot(-1) = -1 + 1 = 0
Logo em m/s².

Passo 5

Pra achar a orientação, notamos que theta = 180^circ aponta só pro lado negativo de . O ângulo em relação ao eixo positivo é
(porque é exatamente na direção oposta ao eixo positivo).

Resposta

Aceleração no ponto boxedvec a = -1,hat i + 0,hat j (m/s²) :
²
Localização: no ponto , apontando para a esquerda.
Orientação: .

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