Um campo de velocidade bidimensional incompressível e em regime permanente é dado por: V=(x-2) i+(x-y) j.
Calcule as componentes do campo de aceleração ( ax e ay) e escreva o vetor aceleração em termos dos vetores unitários.

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz que temos um campo de velocidades bidimensional, incompressível e em regime permanente, dado por
V = (x - 2),i + (x - y),j
O que queremos achar são as componentes do campo de aceleração a = DVDt = (Vcdotnabla),V e escrever em termos de e .
Conteúdo: mecânica dos fluidos—especificamente cálculo de aceleração convectiva em escoamento permanente. Vamos precisar usar a derivada material (que, no caso estacionário, é só a parte convectiva):

Passo 2

Escrevendo a fórmula da aceleração para regime permanente (i.e., sem variação explícita no tempo):
a = (Vcdotnabla),V = l(u,partialpartial x + v,partialpartial yr)l(u,i + v,jr),
onde identificamos e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais que aparecem:
partial upartial x = partial (x-2)partial x = 1, partial upartial y = 0,
partial vpartial x = partial (x-y)partial x = 1, partial vpartial y = partial (x-y)partial y = -1

Passo 4

Agora a componente ax = u,partial upartial x + v,partial upartial y = (x-2)cdot 1 + (x-y)cdot 0 = x - 2 :

Passo 5

E a componente ay = u,partial vpartial x + v,partial vpartial y = (x-2)cdot 1 + (x-y)cdot(-1) = (x-2) - (x-y) = y - 2 :

Resposta

boxed a = ax,i + ay,j = (x - 2),i + (y - 2),j

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