O campo de velocidade em um bocal divergente, com comprimento L, tem a forma em x=L. (a) Usando a abordagem euleriana calcule a aceleração do fluido x=0. (b) Calcule o tempo necessário para a particula de fluido se deslocar de x=L até x=L. © Usando a abordagem lagrangiana calcule a aceleração do fluido em .

Passo 1

Então, o enunciado diz que temos um bocal onde a velocidade do fluido varia no eixo x assim:
V(x) = V0l[1 - tfracx2Lr]imath
Eles pedem três coisas:
  1. Pela visão euleriana (isto é, fixo no ponto x), calcular a aceleração do fluido em x = L.
  2. Descobrir quanto tempo demora pra uma partícula ir de x=0 até x=L.
  3. Pela visão lagrangiana (ou seja, seguindo a partícula), achar de novo a aceleração quando ela chega em x=L.
Para resolver isso, vamos usar:
• A definição de aceleração material (derivada material):
a = D VD t = partial Vpartial t + V,partial Vpartial x
• O fato de que o escoamento é estacionário ( partial V/partial t = 0).
• Integração de separação de variáveis pra achar t(x).

Passo 2

(a) Aceleração euleriana em x=L.
Numa abordagem euleriana, a gente fixa o ponto x e diz: a aceleração ali é
a(x) = V(x),dVdx,
porque partial V/partial t = 0. Então:
  1. Primeiro calcula a derivada espacial de V(x):
V(x) = V0l(1 - tfracx2Lr) Longrightarrow dVdx = -,V02L
  1. Em x = L, a velocidade é
V(L) = V0l(1 - tfracL2Lr) = tfracV02
  1. Logo
a(L) = V(L),dVdx = V02,gl(-V02Lgr) = -,V0^24L

Passo 3

(b) Tempo para ir de x=0 até x=L.
Aqui a gente resolve a EDO que diz
dxdt = V(x) = V0l(1 - tfracx2Lr)
Separa variáveis:
dx1 - x/(2L) = V0,dt
Agora integra de x=0 até x=L e de t=0 até t=T:
integral0^L dx1 - x/(2L) = V0integral0^T dt
No lado esquerdo, faça a mudança u = 1 - x/(2L), du = -dx/(2L), dá
-2Lintegralu(0)=1^u(L)=1/2 duu = V0,T
Isso vira
-2Ll[ln ur]1^1/2 = V0,T Longrightarrow -2Ll(lntfrac12 - ln1r) = V0,T
Longrightarrow T = 2LV0,ln 2

Passo 4

© Aceleração lagrangiana em x=L.
Na visão lagrangiana a gente acompanha a partícula:
  1. Já sabemos que a trajetória é dada por
dxdt = V0,l(1 - tfracx2Lr)
A solução dessa EDO é
x(t) = 2Ll[1 - e^-V0 t/(2L)r]
  1. A aceleração lagrangiana é simplesmente x''(t):
x'(t) = V0,e^-V0 t/(2L), x''(t) = -,V0^22L,e^-V0 t/(2L)
  1. Quando a partícula chega em x=L, vale
x=L ;Longrightarrow; e^-V0 t/(2L) = tfrac12
(é o mesmo t que achamos antes). Substituindo em x''(t):
x''(t)|x=L = -,V0^22L,12 = -,V0^24L
Perceba que deu exatamente o mesmo valor do caso euleriano, como deve ser num fluxo estacionário sem fontes.

Resposta

(a) a(L) = -dfracV0^24L.
(b) T = dfrac2LV0,ln 2.
© Pela abordagem lagrangiana, .

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