O campo de velocidade em um bocal divergente, com comprimento
, tem a forma
. (a) Usando a abordagem euleriana calcule a aceleração do fluido
. (b) Calcule o tempo necessário para a particula de fluido se deslocar de
até
. © Usando a abordagem lagrangiana calcule a aceleração do fluido em
.
Passo 1
Então, o enunciado diz que temos um bocal onde a velocidade do fluido varia no eixo
assim:
Eles pedem três coisas:
- Pela visão euleriana (isto é, fixo no ponto
), calcular a aceleração do fluido em . - Descobrir quanto tempo demora pra uma partícula ir de
até . - Pela visão lagrangiana (ou seja, seguindo a partícula), achar de novo a aceleração quando ela chega em
.
Para resolver isso, vamos usar:
• A definição de aceleração material (derivada material):
• A definição de aceleração material (derivada material):
• O fato de que o escoamento é estacionário (
).
• Integração de separação de variáveis pra achar .
• Integração de separação de variáveis pra achar
Passo 2
(a) Aceleração euleriana em
.
Numa abordagem euleriana, a gente fixa o ponto e diz: a aceleração ali é
Numa abordagem euleriana, a gente fixa o ponto
porque
. Então:
- Primeiro calcula a derivada espacial de
:
- Em
, a velocidade é
- Logo
Passo 3
(b) Tempo para ir de
até
.
Aqui a gente resolve a EDO que diz
Aqui a gente resolve a EDO que diz
Separa variáveis:
Agora integra de
até
e de
até
:
No lado esquerdo, faça a mudança
,
, dá
Isso vira
Passo 4
© Aceleração lagrangiana em
.
Na visão lagrangiana a gente acompanha a partícula:
Na visão lagrangiana a gente acompanha a partícula:
- Já sabemos que a trajetória é dada por
A solução dessa EDO é
- A aceleração lagrangiana é simplesmente
:
- Quando a partícula chega em
, vale
(é o mesmo
que achamos antes). Substituindo em
:
Perceba que deu exatamente o mesmo valor do caso euleriano, como deve ser num fluxo estacionário sem fontes.
Resposta
(a)
a(L) = -dfracV0^24L .
(b)T = dfrac2LV0,ln 2 .
© Pela abordagem lagrangiana, .
(b)
© Pela abordagem lagrangiana, .