Um escoamento bidimensional é descrito pelo seguinte campo de velocidades:
V=(6 x y i+3 x^2 j) m / s
Onde i e j são os vetores unitários nas direções xey, respectivamente.
Determine o vetor aceleração de uma partícula fluida no ponto (1,2).

Passo 1

Beleza, temos um escoamento bidimensional dado pelo campo de velocidades
V(x,y) = 6,x,y,i ;+; 3,x^2,j
e a gente quer achar o vetor aceleração de uma partícula de fluido no ponto a = DVDt = partial Vpartial t + (Vcdotnabla)V . Isso é conteúdo de mecânica dos fluidos (derivada material). Para resolver precisamos usar a definição de aceleração em escoamentos:
Como o campo é independente do tempo ( ), só sobra o tal termo convectivo .

Passo 2

Vamos lembrar do operador nabla em duas dimensões:
nabla = i,partialpartial x + j,partialpartial y
E o produto ax = Vx partial Vxpartial x + Vy partial Vxpartial y, ay = Vx partial Vypartial x + Vy partial Vypartial y tem componente a e a dadas por:
Aqui e .

Passo 3

Calcular as derivadas parciais que vamos precisar:
partial Vxpartial x = partial (6xy)partial x = 6y, partial Vxpartial y = partial (6xy)partial y = 6x,
partial Vypartial x = partial (3x^2)partial x = 6x, partial Vypartial y = partial (3x^2)partial y = 0

Passo 4

Agora montamos cada componente do aceleramento convectivo:
Para ax = Vx,partial Vxpartial x + Vy,partial Vxpartial y = (6xy)(6y) + (3x^2)(6x) = 36,x,y^2 + 18,x^3 :
ay = Vx,partial Vypartial x + Vy,partial Vypartial y = (6xy)(6x) + (3x^2)(0) = 36,x^2,y
Para :

Passo 5

Basta avaliar em ax(1,2) = 36cdot1cdot2^2 + 18cdot1^3 = 36cdot4 + 18 = 144 + 18 = 162, :
ay(1,2) = 36cdot1^2cdot2 = 72

Resposta

O vetor aceleração no ponto boxeda(1,2) = 162,i + 72,j (m/s^2) é

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