Um campo de velocidade é dado por
as unidades de velocidade são m/s;
e
são dados em metros;
.
(a) Obtenha uma equação para as linhas de corrente no plano
.
(b) Trace a linha de corrente que passa pelo ponto
.
(c) Determine a velocidade de uma partícula no ponto
.
(d) Se a partícula passando pelo ponto
no instante
for marcada, determine a sua localização no instante
.
(e) Qual a velocidade dessa partícula em
?
(f) Mostre que a equação da trajetória da partícula é a mesma equação da linha de corrente.
(a) Obtenha uma equação para as linhas de corrente no plano
(b) Trace a linha de corrente que passa pelo ponto
(c) Determine a velocidade de uma partícula no ponto
(d) Se a partícula passando pelo ponto
(e) Qual a velocidade dessa partícula em
(f) Mostre que a equação da trajetória da partícula é a mesma equação da linha de corrente.
Passo 1
O enunciado dá um campo de velocidade no plano
com
. Pede-se as linhas de corrente (a), a que passa por
(b), a velocidade em
(c), a trajetória da partícula marcada em
até
,s (d), sua velocidade em
,s (e) e mostrar que a trajetória coincide com as linhas de corrente (f). Para isso vamos usar a definição de linha de corrente
e resolver as EDOs do movimento
Passo 2
As linhas de corrente satisfazem
Separando as variáveis dá
e portanto, em forma explícita,
é a família geral de linhas de corrente.
Passo 3
Para a linha de corrente que passa por
temos
logo a equação procurada é
Passo 4
A velocidade em
é
Passo 5
A trajetória da partícula marcada resolve as EDOs
com condições iniciais
,
. Integramos para obter
Passo 6
Em
,s, com
e
, fica
Passo 7
A velocidade dessa partícula em
,s é
Passo 8
Para mostrar que a trajetória coincide com a linha de corrente, eliminamos
: de
temos
e então
ou seja
que é exatamente a equação da linha de corrente que passa por
.
Resposta
(a) As linhas de corrente satisfazem
(b) A linha que passa por é
(c)
(d)
(e)
(f) Eliminando na trajetória obtém-se
, mesmo resultado das linhas de corrente.
(b) A linha que passa por
(c)
(d)
(e)
(f) Eliminando