Um campo de velocidade é dado por \vec{V}=A x_{i}-A y \hat{j} as unidades de velocidade são m/s; x e y são dados em metros; A=0,3 \mathrm{~s}^{-1}.
(a) Obtenha uma equação para as linhas de corrente no plano x y.
(b) Trace a linha de corrente que passa pelo ponto \left(x_{0}, y_{0}\right)=(2,8).
(c) Determine a velocidade de uma partícula no ponto (2,8).
(d) Se a partícula passando pelo ponto \left(x_{0}, y_{0}\right) no instante t=0 for marcada, determine a sua localização no instante t=6 \mathrm{~s}.
(e) Qual a velocidade dessa partícula em t=6 \mathrm{~s} ?
(f) Mostre que a equação da trajetória da partícula é a mesma equação da linha de corrente.

Passo 1

O enunciado dá um campo de velocidade no plano xy
\vec V(x,y)=A\,x\,\hat\imath - A\,y\,\hat\jmath
com A=0,3\\ \mathrm{s}^{-1}. Pede-se as linhas de corrente (a), a que passa por (2,8) (b), a velocidade em (2,8) (c), a trajetória da partícula marcada em t=0 até t=6,s (d), sua velocidade em t=6,s (e) e mostrar que a trajetória coincide com as linhas de corrente (f). Para isso vamos usar a definição de linha de corrente
\frac{dy}{dx}=\frac{v_y}{v_x}
e resolver as EDOs do movimento
\frac{dx}{dt}=A\,x,\quad \frac{dy}{dt}=-A\,y.

Passo 2

As linhas de corrente satisfazem
\frac{dy}{dx}=\frac{-A\,y}{A\,x}=-\frac{y}{x}.
Separando as variáveis dá
\int\frac{1}{y}\,dy=-\int\frac{1}{x}\,dx\quad\Longrightarrow\quad \ln y=-\ln x + C
e portanto, em forma explícita,
\boxed{x\,y=k}
é a família geral de linhas de corrente.

Passo 3

Para a linha de corrente que passa por (x_0,y_0)=(2,8) temos
k=x_0\,y_0=2\cdot8=16,
logo a equação procurada é
\boxed{x\,y=16}.

Passo 4

A velocidade em (2,8) é
\vec V(2,8)=\bigl(A\cdot2\bigr)\hat\imath - \bigl(A\cdot8\bigr)\hat\jmath=(0,6)\hat\imath - (2,4)\hat\jmath\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

A trajetória da partícula marcada resolve as EDOs
\frac{dx}{dt}=A\,x,\quad\frac{dy}{dt}=-A\,y
com condições iniciais x(0)=2, y(0)=8. Integramos para obter
x(t)=2\,e^{A t},\quad y(t)=8\,e^{-A t}.

Passo 6

Em t=6,s, com A=0,3\\ \mathrm{s}^{-1} e A\,t=1,8, fica
x(6)=2\,e^{1,8}\approx12,10\\ \mathrm{m},\quad y(6)=8\,e^{-1,8}\approx1,32\\ \mathrm{m}.

Passo 7

A velocidade dessa partícula em t=6,s é
\vec V(6)=\bigl(A\,x(6)\bigr)\hat\imath - \bigl(A\,y(6)\bigr)\hat\jmath =(0,3\cdot12,10)\hat\imath - (0,3\cdot1,32)\hat\jmath \approx (3,63)\hat\imath - (0,40)\hat\jmath\\ \mathrm{m/s}.

Passo 8

Para mostrar que a trajetória coincide com a linha de corrente, eliminamos t: de x=2e^{At} temos e^{At}=x/2 e então
y=8\,e^{-At}=8\bigl(e^{At}\bigr)^{-1} =8\frac{2}{x}=\frac{16}{x},
ou seja
x\,y=16,
que é exatamente a equação da linha de corrente que passa por (2,8).

Resposta

(a) As linhas de corrente satisfazem \,x\,y=k\,.
(b) A linha que passa por (2,8) é \,x\,y=16\,.
(c) \vec V(2,8)=(0,6)\hat\imath - (2,4)\hat\jmath\\ \mathrm{m/s}.
(d) \bigl(x(6),y(6)\bigr)=\bigl(2e^{1,8},\,8e^{-1,8}\bigr)\approx(12,10;\,1,32)\\ \mathrm{m}.
(e) \vec V(6)\approx(3,63)\hat\imath - (0,40)\hat\jmath\\ \mathrm{m/s}.
(f) Eliminando t na trajetória obtém-se x\,y=16, mesmo resultado das linhas de corrente.

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