Um campo de velocidade é dado por \vec{V}=A x_{i}-A y \hat{j} as unidades de velocidade são m/s; x e y são dados em metros; A=0,3 \mathrm{~s}^{-1}.
(a) Obtenha uma equação para as linhas de corrente no plano x y.
(b) Trace a linha de corrente que passa pelo ponto \left(x_{0}, y_{0}\right)=(2,8).
(c) Determine a velocidade de uma partícula no ponto (2,8).
(d) Se a partícula passando pelo ponto \left(x_{0}, y_{0}\right) no instante t=0 for marcada, determine a sua localização no instante t=6 \mathrm{~s}.
(e) Qual a velocidade dessa partícula em t=6 \mathrm{~s} ?
(f) Mostre que a equação da trajetória da partícula é a mesma equação da linha de corrente.

Passo 1

O enunciado dá um campo de velocidade no plano xy
\vec{V} = A\,x\,\hat{\imath} - A\,y\,\hat{\jmath},
com A=0,3\\ \mathrm{s}^{-1}. Pede-se: (a) equação das linhas de corrente, (b) linha que passa por (2,8), (c) velocidade em (2,8), (d) trajetória da partícula marcada em t=0, (e) velocidade dessa partícula em t=6\\ \mathrm{s}, e (f) mostrar que trajetória e linha de corrente coincidem.

Passo 2

As linhas de corrente satisfazem
\frac{dy}{dx} = \frac{V_y}{V_x} = \frac{-A\,y}{A\,x} = -\frac{y}{x}.
Separamos variáveis e integramos:
\int \frac{dy}{y} = -\int \frac{dx}{x}
\ln y = -\ln x + C
\ln(xy) = C \quad\Longrightarrow\quad xy = K,
onde K=e^C é constante da linha de corrente.

Passo 3

Para passar por (x_0,y_0)=(2,8) basta imponer
K = 2\cdot8 = 16,
logo a linha de corrente é
xy = 16.

Passo 4

A velocidade num ponto (x,y) é
\vec{V}=(A\,x)\,\hat{\imath}+(-A\,y)\,\hat{\jmath}.
Em (2,8) temos
V_x = A\cdot2 = 0,6\\ \mathrm{m/s}, \quad V_y = -A\cdot8 = -2,4\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Para a trajetória da partícula resolvemos o sistema de EDOs
\frac{dx}{dt} = A\,x, \quad \frac{dy}{dt} = -A\,y,
com condições iniciais x(0)=2, y(0)=8. Integramos separando variáveis:
x(t)=2\,e^{A t}, \quad y(t)=8\,e^{-A t}.

Passo 6

Em t=6\\ \mathrm{s} e com A=0,3\\ \mathrm{s}^{-1},
x(6) = 2\,e^{0,3\cdot6} = 2\,e^{1,8}, \quad y(6) = 8\,e^{-0,3\cdot6} = 8\,e^{-1,8}.

Passo 7

A velocidade nessa partícula em t=6\\ \mathrm{s} é
V_x(6) = A\,x(6) = 0,3\cdot2\,e^{1,8} = 0,6\,e^{1,8}\\ \mathrm{m/s},
V_y(6) = -A\,y(6) = -0,3\cdot8\,e^{-1,8} = -2,4\,e^{-1,8}\\ \mathrm{m/s}.

Passo 8

A trajetória satisfaz
x(t)\,y(t) = \bigl(2\,e^{At}\bigr)\bigl(8\,e^{-At}\bigr) = 16,
que é exatamente a equação da linha de corrente xy=16.

Resposta

(a) xy=K.
(b) xy=16.
(c) \vec{V}(2,8) = (0,6\,\hat{\imath} -2,4\,\hat{\jmath})\\ \mathrm{m/s}.
(d) x(t)=2e^{0,3t},\;y(t)=8e^{-0,3t}.
(e) \vec{V}(6) = \bigl(0,6e^{1,8}\bigr)\hat{\imath} + \bigl(-2,4e^{-1,8}\bigr)\hat{\jmath}.
(f) Porque x(t)y(t)=16, a mesma equação da linha de corrente.

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