Um campo de velocidade é dado por
as unidades de velocidade são m/s;
e
são dados em metros;
.
(a) Obtenha uma equação para as linhas de corrente no plano
.
(b) Trace a linha de corrente que passa pelo ponto
.
(c) Determine a velocidade de uma partícula no ponto
.
(d) Se a partícula passando pelo ponto
no instante
for marcada, determine a sua localização no instante
.
(e) Qual a velocidade dessa partícula em
?
(f) Mostre que a equação da trajetória da partícula é a mesma equação da linha de corrente.
(a) Obtenha uma equação para as linhas de corrente no plano
(b) Trace a linha de corrente que passa pelo ponto
(c) Determine a velocidade de uma partícula no ponto
(d) Se a partícula passando pelo ponto
(e) Qual a velocidade dessa partícula em
(f) Mostre que a equação da trajetória da partícula é a mesma equação da linha de corrente.
Passo 1
O enunciado dá um campo de velocidade no plano
com
. Pede-se: (a) equação das linhas de corrente, (b) linha que passa por
, (c) velocidade em
, (d) trajetória da partícula marcada em
, (e) velocidade dessa partícula em
, e (f) mostrar que trajetória e linha de corrente coincidem.
Passo 2
As linhas de corrente satisfazem
Separamos variáveis e integramos:
onde
é constante da linha de corrente.
Passo 3
Para passar por
basta imponer
logo a linha de corrente é
Passo 4
A velocidade num ponto
é
Em
temos
Passo 5
Para a trajetória da partícula resolvemos o sistema de EDOs
com condições iniciais
,
. Integramos separando variáveis:
Passo 6
Em
e com
,
Passo 7
A velocidade nessa partícula em
é
Passo 8
A trajetória satisfaz
que é exatamente a equação da linha de corrente
.
Resposta
(a)
.
(b) .
(c)
(d)
(e)
(f) Porque , a mesma equação da linha de corrente.
(b)
(c)
(d)
(e)
(f) Porque