Uma placa infinita move-se sobre uma segunda placa, havendo entre elas uma camada de líquido, como mostrado. Para uma pequena altura da camada, d, podemos supor uma distribuição linear de velocidade no líquido. A viscosidade do líquido é 0,0065 \mathrm{~g} / \mathrm{cm} \cdot \mathrm{s} e sua densidade relativa é 0,88 .
Determine:
(a) A viscosidade absoluta do líquido, \mathrm{em} \mathrm{N} \cdot \mathrm{s} / \mathrm{m}^{2}.
(b) A viscosidade cinemática do líquido, \mathrm{em} \mathrm{m}^{2} / \mathrm{s}.
(c) A tensão de cisalhamento na placa superior, \mathrm{em} \mathrm{N} / \mathrm{m}^{2}.
(d) A tensão de cisalhamento na placa inferior, em Pa.
(e) O sentido de cada tensão cisalhante calculada nas partes (c) e (d).

Passo 1

O enunciado descreve duas placas paralelas e infinitas, separadas por uma fina camada de líquido de espessura d. A placa superior move-se com velocidade constante U em relação à inferior, gerando um perfil de velocidade que, por suposição de camada fina, é linear do tipo
u(y)=\frac{U}{d}\;y\quad(0\le y\le d).
Nos pede (a) a viscosidade absoluta em SI, (b) a viscosidade cinemática, (c) e (d) as tensões de cisalhamento nas placas, e (e) o sentido dessas tensões.

Passo 2

Converter a viscosidade dada em \mathrm{g}/(\mathrm{cm}\cdot\mathrm s) para \mathrm{N}\cdot\mathrm s/\mathrm m^2. Sabemos que
1\;\frac{\mathrm{g}}{\mathrm{cm}\cdot\mathrm s} =\frac{10^{-3}\,\mathrm{kg}}{10^{-2}\,\mathrm m\cdot\mathrm s} =0,1\;\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm m\cdot\mathrm s} =0,1\;\mathrm{Pa}\cdot\mathrm s}.
Logo, para \mu=0,0065\;\mathrm{g}/(\mathrm{cm}\cdot\mathrm s), temos
\mu =0,0065\times0,1 =0,00065\;\mathrm{Pa}\cdot\mathrm s.

Passo 3

Determinar a viscosidade cinemática \nu usando
\nu = \frac{\mu}{\rho},
onde a densidade absoluta do líquido vale
\rho = 0{,}88\times1000 =880\;\mathrm{kg}/\mathrm m^3.
Logo
\nu =\frac{0,00065}{880} \approx7,39\times10^{-7}\;\mathrm m^2/\mathrm s.

Passo 4

A tensão de cisalhamento no interior do fluido é dada por
\tau = \mu\,\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}y} =\mu\;\frac{U}{d}.
Como o perfil é linear, essa mesma tensão vale tanto na superfície da placa superior quanto na da inferior.

Passo 5

O sentido da tensão de cisalhamento é sempre oposto ao movimento relativo entre as superfícies:
  • Na placa superior, a tensão age no sentido contrário ao seu deslocamento (retardando-a).
  • Na placa inferior, a tensão age no sentido do movimento do fluido (arrastando-a).

Resposta

(a) \mu = 0{,}00065\;\mathrm{N}\cdot\mathrm s/\mathrm m^2
(b) \nu \approx 7,39\times10^{-7}\;\mathrm m^2/\mathrm s
(c) \tau_{\rm sup} = \mu\,\dfrac{U}{d}\;\mathrm{N}/\mathrm m^2
(d) \tau_{\rm inf} = \mu\,\dfrac{U}{d}\;\mathrm{Pa}
(e) Na placa superior o cisalhamento é sentido oposto à velocidade U; na inferior, é sentido igual ao arraste do fluido.

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