O campo de velocidade de um escoamento é dado por onde ; e . Encontre a linha de corrente que passa pelo ponto
Passo 1
Então, vamos lá! O enunciado nos dá um campo de velocidade de um fluido representado por , onde , e . A tarefa é encontrar a linha de corrente que passa pelo ponto . Vamos precisar entender o que são linhas de corrente e como usar as componentes da velocidade para determiná-las.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma linha de corrente. Imagina que é o caminho que uma partícula de fluido segue conforme se move no campo de velocidade. Matematicamente, isso significa que a direção da velocidade do fluido em cada ponto é tangente à linha de corrente naquele ponto.
Passo 3
Para encontrar a equação da linha de corrente, usamos a relação . Isso nos dá um sistema de equações diferenciais que podemos resolver para obter as coordenadas em função de um parâmetro, normalmente o tempo .
Passo 4
Vamos substituir as expressões de , e :
Agora, precisamos resolver essas equações passo a passo.
Passo 5
Primeiro, igualamos as duas primeiras frações:
Integrando ambos os lados:
Exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Onde é uma constante.
Passo 6
Agora, igualamos as duas últimas frações:
Integrando ambos os lados:
Exponenciando ambos os lados:
Onde é outra constante.
Passo 7
Agora, temos duas relações:
Vamos usar o ponto inicial para encontrar as constantes e . No entanto, notamos que , o que pode causar uma divisão por zero. Isso sugere que, ao longo da linha de corrente, permanece constante, ou seja, .
Passo 8
Com , a equação para se torna:
A única maneira de isso fazer sentido é que , o que implica que também é zero. Mas isso contradiz o ponto inicial . Portanto, precisamos reavaliar nosso processo.
Passo 9
Na verdade, como , e no ponto inicial , a taxa de mudança de é zero. Isso significa que ao longo da linha de corrente, permanece constante em zero. Portanto, a linha de corrente está no plano .
Passo 10
Voltando à relação entre e :
Integrando:
Exponenciando:
Usando o ponto , temos:
Então, a relação entre e é:
Resposta
A linha de corrente que passa pelo ponto é definida por e . Em forma paramétrica, podemos expressar como: