O campo de velocidade de um escoamento é dado por V=u imath+v jmath+w k onde u=3 x; v=-2 y e w=2 z. Encontre a linha de corrente que passa pelo ponto (1,1,0)

Passo 1

Então, vamos lá! O enunciado nos dá um campo de velocidade de um fluido representado por V = u imath + v jmath + w k, onde u = 3x, v = -2y e w = 2z. A tarefa é encontrar a linha de corrente que passa pelo ponto (1,1,0). Vamos precisar entender o que são linhas de corrente e como usar as componentes da velocidade para determiná-las.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma linha de corrente. Imagina que é o caminho que uma partícula de fluido segue conforme se move no campo de velocidade. Matematicamente, isso significa que a direção da velocidade do fluido em cada ponto é tangente à linha de corrente naquele ponto.

Passo 3

Para encontrar a equação da linha de corrente, usamos a relação dxu = dyv = dzw. Isso nos dá um sistema de equações diferenciais que podemos resolver para obter as coordenadas (x, y, z) em função de um parâmetro, normalmente o tempo t.

Passo 4

Vamos substituir as expressões de u, v e w:
dx3x = dy-2y = dz2z
Agora, precisamos resolver essas equações passo a passo.

Passo 5

Primeiro, igualamos as duas primeiras frações:
dx3x = dy-2y
Integrando ambos os lados:
integral dxx = integral -32 dyy
ln|x| = -32 ln|y| + C1
Exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
x = C1 y^-3/2
Onde C1 é uma constante.

Passo 6

Agora, igualamos as duas últimas frações:
dy-2y = dz2z
Integrando ambos os lados:
integral dyy = integral -22 dzz
ln|y| = -ln|z| + C2
Exponenciando ambos os lados:
y = C2 z^-1
Onde C2 é outra constante.

Passo 7

Agora, temos duas relações:
x = C1 y^-3/2
y = C2 z^-1
Vamos usar o ponto inicial (1,1,0) para encontrar as constantes C1 e C2. No entanto, notamos que z = 0, o que pode causar uma divisão por zero. Isso sugere que, ao longo da linha de corrente, z permanece constante, ou seja, z = 0.

Passo 8

Com z = 0, a equação para y se torna:
y = C2 cdot infty
A única maneira de isso fazer sentido é que C2 = 0, o que implica que y também é zero. Mas isso contradiz o ponto inicial (1,1,0). Portanto, precisamos reavaliar nosso processo.

Passo 9

Na verdade, como w = 2z, e no ponto inicial z = 0, a taxa de mudança de z é zero. Isso significa que ao longo da linha de corrente, z permanece constante em zero. Portanto, a linha de corrente está no plano z = 0.

Passo 10

Voltando à relação entre x e y:
dx3x = dy-2y
Integrando:
ln|x| = -32 ln|y| + C
Exponenciando:
x = C y^-3/2
Usando o ponto (1,1,0), temos:
1 = C cdot 1^-3/2 implies C = 1
Então, a relação entre x e y é:
x = y^-3/2

Resposta

A linha de corrente que passa pelo ponto (1,1,0) é definida por z = 0 e x = y^-3/2. Em forma paramétrica, podemos expressar como:
x = y^-3/2 y = y z = 0
Onde y é o parâmetro.

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