O campo de velocidade na linha de centro de uma tubulação é: \vec{V}=C\left(2+\frac{x^{2}}{L^{2}}\right) \hat{\imath}. Quais as considerações necessárias para este escoamento? Qual é a expressão para a aceleração da partícula, movendo-se na linha de centro? ( 1,0 ponto).
Com base nas informações do texto abaixo responda as questões 4, 5 e 6 .
Um engenheiro deve realizar a fixação de um cano que escoa um fluido. O cano utilizado contém a seção reta constante e área igual a 0,20 \mathrm{~m}^{2}. O escoamento é em regime permanente. O cano tem 4 perfurações idênticas, diametralmente opostas, sendo que a reta que liga o centro de duas delas é perpendicular à reta que liga as outras duas. O somatório das vazões nos furos é igual a 40 \mathrm{~kg} / \mathrm{s} e o fluido escoa através dos furos na direção normal à parede do cano. Na entrada do cano, a pressão absoluta é de 621,775 kPa , a massa específica do fluido é de 7 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} e a velocidade é igual a 150 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Na saída, lo cano, a pressão cai para 423,650 \mathrm{kPa} e a massa específica é de 4 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}.

Passo 1

O enunciado apresenta o campo de velocidade ao longo da linha de centro
\vec{V}=C\left(2+\frac{x^{2}}{L^{2}}\right)\hat{\imath},
e pede duas coisas:
  1. Quais as considerações necessárias para este escoamento?
  2. Qual é a expressão para a aceleração da partícula movendo-se na linha de centro?
Além disso há um segundo bloco de texto (relacionado às questões 4, 5 e 6). Os dados fornecidos nesse bloco são:
  • Área da seção reta do cano: A=0{,}20\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Escoamento em regime permanente.
  • O cano tem 4 perfurações idênticas, diametralmente opostas; as retas que ligam centros opostos são perpendiculares.
  • Somatório das vazões nas furos: \dot{m}_{\mathrm{furos}}=40\\ \mathrm{kg/s}.
  • Fluxo através dos furos na direção normal à parede.
  • Na entrada do cano: pressão absoluta p_{\mathrm{in}}=621{,}775\\ \mathrm{kPa}, massa específica \rho_{\mathrm{in}}=7\\ \mathrm{kg/m^{3}}, velocidade V_{\mathrm{in}}=150\\ \mathrm{m/s}.
  • Na saída do cano: pressão p_{\mathrm{out}}=423{,}650\\ \mathrm{kPa}, massa específica \rho_{\mathrm{out}}=4\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
Observação: as questões 4, 5 e 6 mencionadas não foram incluídas no enunciado recebido; portanto não é possível respondê‑las a partir do texto sem que os enunciados dessas perguntas sejam fornecidos.

Passo 2

Vamos aprender a forma geral de obter a aceleração de uma partícula de fluido a partir do campo de velocidades. A aceleração material (ou aceleração da partícula) é dada pela derivada material do campo de velocidades:
\vec{a}=\frac{D\vec{V}}{Dt}=\frac{\partial\vec{V}}{\partial t}+(\vec{V}\cdot\nabla)\vec{V}.
Explicando os termos:
  • \vec{a} é a aceleração da partícula (vetor).
  • \dfrac{\partial\vec{V}}{\partial t} é a contribuição temporal local (variação do campo de velocidade no tempo em um ponto fixo).
  • (\vec{V}\cdot\nabla)\vec{V} é a contribuição convectiva (variação espacial do campo de velocidade transportada pela própria velocidade).
    No caso de um escoamento permanente (regime estacionário) tem-se \dfrac{\partial\vec{V}}{\partial t}=0, logo toda a aceleração vem do termo convectivo.

Passo 3

Identificações e simplificações a partir do campo dado. O campo é unidirecional e depende só de x:
\vec{V}=V_x(x)\,\hat{\imath},\qquad V_x(x)=C\left(2+\frac{x^{2}}{L^{2}}\right).
Como não há componentes em \hat{\jmath} nem \hat{k} e não há dependência temporal, a derivada material reduz-se a
\vec{a}=(\vec{V}\cdot\nabla)\vec{V}=V_x\frac{\partial V_x}{\partial x}\,\hat{\imath}.
Agora calculamos \dfrac{\partial V_x}{\partial x}. Derivando termo a termo:
\frac{\partial V_x}{\partial x}=C\cdot\frac{\partial}{\partial x}\!\left(2+\frac{x^{2}}{L^{2}}\right)=C\cdot\frac{2x}{L^{2}}.

Passo 4

Substituindo em \vec{a}=V_x\frac{\partial V_x}{\partial x}\,\hat{\imath} obtemos:
\vec{a}=C\!\left(2+\frac{x^{2}}{L^{2}}\right)\cdot C\frac{2x}{L^{2}}\,\hat{\imath}.
Agrupando os fatores:
\vec{a}=C^{2}\frac{2x}{L^{2}}\left(2+\frac{x^{2}}{L^{2}}\right)\hat{\imath}.

Passo 5

Podemos escrever a expressão expandida para facilitar interpretação:
\vec{a}=\left(\frac{4C^{2}x}{L^{2}}+\frac{2C^{2}x^{3}}{L^{4}}\right)\hat{\imath}.
Interpretações e considerações necessárias para este escoamento (lista detalhada, útil para uma prova):
  • Regime: o campo dado não depende de t, portanto o escoamento é permanente (regime estacionário). Isso elimina o termo \partial\vec{V}/\partial t.
  • Unidimensionalidade/localização: a velocidade tem só componente axial V_x e depende apenas da coordenada axial x, logo o movimento das partículas na linha de centro é ao longo do eixo x.
  • Diferenciabilidade: a função V_x(x) é diferenciável (polinomial em x), o que permite calcular \partial V_x/\partial x.
  • Aceleração convectiva: toda a aceleração é convectiva, isto é, resultante da variação espacial da velocidade; não há aceleração temporal.
  • Direção da aceleração: \vec{a} está na direção \hat{\imath}. O sinal (sentido) da aceleração depende do sinal de x: para x>0 a aceleração é positiva (a partícula acelera no sentido +x), para x<0 é negativa (desacelera no sentido +x).
  • Outras hipóteses físicas que devem ser claramente assumidas se precisar relacionar com pressão ou forças: se for necessário usar equações de conservação (Euler ou Navier–Stokes), é preciso dizer se o fluido é incompressível/compressível, viscoso/inviscid, e se existem forças de volume (gravidade) relevantes. O campo dado por si só não determina pressão nem densidade; esses dados teriam que vir de outras condições (e.g. equação de estado, balanço de massa/energia).
  • Constantes C e L: tratam‑se de constantes do problema (valores numéricos ou parâmetros experimentais) e devem ser conhecidos para avaliar numericamente \vec{a}.

Passo 6

Sobre as questões 4, 5 e 6 referidas no enunciado: os dados do parágrafo seguinte foram listados no Passo 1, mas os próprios enunciados das perguntas 4, 5 e 6 não foram incluídos na mensagem recebida. Sem saber exatamente o que cada uma dessas perguntas pede (por exemplo: calcular vazões, quedas de pressão, força de fixação, balanço de massa, etc.) não há como responder. Para que eu responda 4, 5 e 6 preciso que o texto das próprias perguntas seja fornecido; não se deve inferir automaticamente o que é pedido.

Resposta

Considerações: escoamento permanente ( \partial\vec{V}/\partial t=0); unidimensional na linha de centro ( \vec{V}=V_x(x)\hat{\imath}); V_x é diferenciável; aceleração é puramente convectiva; direção da aceleração é \hat{\imath}; para relacionar pressões/forças é preciso assumir compressibilidade/viscosidade e condições adicionais.
\vec{a}=C^{2}\frac{2x}{L^{2}}\!\left(2+\frac{x^{2}}{L^{2}}\right)\hat{\imath}=\left(\frac{4C^{2}x}{L^{2}}+\frac{2C^{2}x^{3}}{L^{4}}\right)\hat{\imath}.

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