O campo de velocidade na linha de centro de uma tubulação é:
. Quais as considerações necessárias para este escoamento? Qual é a expressão para a aceleração da partícula, movendo-se na linha de centro? ( 1,0 ponto).
Com base nas informações do texto abaixo responda as questões 4, 5 e 6 .
Um engenheiro deve realizar a fixação de um cano que escoa um fluido. O cano utilizado contém a seção reta constante e área igual a
. O escoamento é em regime permanente. O cano tem 4 perfurações idênticas, diametralmente opostas, sendo que a reta que liga o centro de duas delas é perpendicular à reta que liga as outras duas. O somatório das vazões nos furos é igual a
e o fluido escoa através dos furos na direção normal à parede do cano. Na entrada do cano, a pressão absoluta é de 621,775 kPa , a massa específica do fluido é de
e a velocidade é igual a
. Na saída, lo cano, a pressão cai para
e a massa específica é de
.
Um engenheiro deve realizar a fixação de um cano que escoa um fluido. O cano utilizado contém a seção reta constante e área igual a
Passo 1
O enunciado apresenta o campo de velocidade ao longo da linha de centro
e pede duas coisas:
- Quais as considerações necessárias para este escoamento?
- Qual é a expressão para a aceleração da partícula movendo-se na linha de centro?
Além disso há um segundo bloco de texto (relacionado às questões 4, 5 e 6). Os dados fornecidos nesse bloco são:
- Área da seção reta do cano:
. - Escoamento em regime permanente.
- O cano tem 4 perfurações idênticas, diametralmente opostas; as retas que ligam centros opostos são perpendiculares.
- Somatório das vazões nas furos:
. - Fluxo através dos furos na direção normal à parede.
- Na entrada do cano: pressão absoluta
, massa específica , velocidade . - Na saída do cano: pressão
, massa específica .
Observação: as questões 4, 5 e 6 mencionadas não foram incluídas no enunciado recebido; portanto não é possível respondê‑las a partir do texto sem que os enunciados dessas perguntas sejam fornecidos.
Passo 2
Vamos aprender a forma geral de obter a aceleração de uma partícula de fluido a partir do campo de velocidades. A aceleração material (ou aceleração da partícula) é dada pela derivada material do campo de velocidades:
Explicando os termos:
-
é a aceleração da partícula (vetor). -
é a contribuição temporal local (variação do campo de velocidade no tempo em um ponto fixo). -
é a contribuição convectiva (variação espacial do campo de velocidade transportada pela própria velocidade).
No caso de um escoamento permanente (regime estacionário) tem-se, logo toda a aceleração vem do termo convectivo.
Passo 3
Identificações e simplificações a partir do campo dado. O campo é unidirecional e depende só de
:
Como não há componentes em
nem
e não há dependência temporal, a derivada material reduz-se a
Agora calculamos
. Derivando termo a termo:
Passo 4
Substituindo em
obtemos:
Agrupando os fatores:
Passo 5
Podemos escrever a expressão expandida para facilitar interpretação:
Interpretações e considerações necessárias para este escoamento (lista detalhada, útil para uma prova):
- Regime: o campo dado não depende de
, portanto o escoamento é permanente (regime estacionário). Isso elimina o termo . - Unidimensionalidade/localização: a velocidade tem só componente axial
e depende apenas da coordenada axial , logo o movimento das partículas na linha de centro é ao longo do eixo . - Diferenciabilidade: a função
é diferenciável (polinomial em ), o que permite calcular . - Aceleração convectiva: toda a aceleração é convectiva, isto é, resultante da variação espacial da velocidade; não há aceleração temporal.
- Direção da aceleração:
está na direção . O sinal (sentido) da aceleração depende do sinal de : para a aceleração é positiva (a partícula acelera no sentido +x), para é negativa (desacelera no sentido +x). - Outras hipóteses físicas que devem ser claramente assumidas se precisar relacionar com pressão ou forças: se for necessário usar equações de conservação (Euler ou Navier–Stokes), é preciso dizer se o fluido é incompressível/compressível, viscoso/inviscid, e se existem forças de volume (gravidade) relevantes. O campo dado por si só não determina pressão nem densidade; esses dados teriam que vir de outras condições (e.g. equação de estado, balanço de massa/energia).
- Constantes
e : tratam‑se de constantes do problema (valores numéricos ou parâmetros experimentais) e devem ser conhecidos para avaliar numericamente .
Passo 6
Sobre as questões 4, 5 e 6 referidas no enunciado: os dados do parágrafo seguinte foram listados no Passo 1, mas os próprios enunciados das perguntas 4, 5 e 6 não foram incluídos na mensagem recebida. Sem saber exatamente o que cada uma dessas perguntas pede (por exemplo: calcular vazões, quedas de pressão, força de fixação, balanço de massa, etc.) não há como responder. Para que eu responda 4, 5 e 6 preciso que o texto das próprias perguntas seja fornecido; não se deve inferir automaticamente o que é pedido.
Resposta
Considerações: escoamento permanente (
); unidimensional na linha de centro (
);
é diferenciável; aceleração é puramente convectiva; direção da aceleração é
; para relacionar pressões/forças é preciso assumir compressibilidade/viscosidade e condições adicionais.