localizada no primeiro octante do sistema de coordenadas.
Passo 1
O enunciado fornece:
O campo vetorial \vec{a}=y z \,\vec{i}+x z \,\vec{j}+x y \,\vec{k}.
A superfície é a parte da esfera \,x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}\, localizada no primeiro octante (isto é, com x\ge0,\;y\ge0,\;z\ge0).
Pede-se o fluxo de \vec{a} através do lado exterior dessa parte da esfera (ou seja, a componente do fluxo cujo vetor normal é o exterior ao volume do primeiro octante do interior da esfera).
Informações relevantes dadas:
A superfície considerada é apenas a “tampa esférica” do volume V=\{x,y,z\ge0,\;x^{2}+y^{2}+z^{2}\le R^{2}\}.
O volume fechado por essa tampa esférica e pelos planos coordenados x=0, y=0 e z=0 é o octante de bola de raio R.
Queremos o fluxo pela face esférica com normal voltado para fora do volume (normal radial).
Passo 2
Estratégia escolhida (por que usar esse método): usar o Teorema da Divergência (Gauss) para o volume do primeiro octante da bola. Explicação do teorema: para um campo vetorial \vec{F} suave e um volume V com superfície fechada S=\partial V orientada para fora vale
Aqui S será a união da parte esférica (que é o que queremos) e das três parcelas nos planos coordenados. Usamos esse teorema porque muitas vezes a divergência é simples e a integral tripla fica mais fácil do que tentar parametrizar só a superfície esférica; além disso, a divergência pode anular e simplificar muito o cálculo.
Agora vamos calcular cada fluxo através dos planos coordenados (cada um com normal apontando para fora do volume).
Passo 5
Fluxo através do plano x=0.
No plano x=0 (com y\ge0,\;z\ge0,\;y^{2}+z^{2}\le R^{2}) o vetor é
\vec{a}\big|_{x=0}=y z \,\vec{i}+0\,\vec{j}+0\,\vec{k}.
O vetor normal exterior ao volume em x=0 é \vec{n}=(-1,0,0). Assim o produto escalar é
\vec{a}\cdot\vec{n}=(y z)(-1)=-y z.
Portanto o fluxo através de x=0 é a integral dupla
\Phi_{x=0}=\iint_{D_{yz}}(-y z)\,dS,
onde D_{yz}=\{(y,z):y\ge0,z\ge0,y^{2}+z^{2}\le R^{2}\} é o quadrante do disco de raio R.
Passamos para coordenadas polares no plano y\!-\!z: y=r\cos\theta,\;z=r\sin\theta, com r\in[0,R], \theta\in[0,\pi/2], e dS=r\,dr\,d\theta. O integrando vira
-y z = -(r\cos\theta)(r\sin\theta) = -r^{2}\cos\theta\sin\theta,
No plano y=0 o campo reduz-se a \vec{a}\big|_{y=0}=0\,\vec{i}+x z\,\vec{j}+0\,\vec{k} e o normal exterior é (0,-1,0), de modo que \vec{a}\cdot\vec{n}=-x z. O domínio é o quadrante \{x\ge0,z\ge0,x^{2}+z^{2}\le R^{2}\}. Fazendo as mesmas contas em coordenadas polares no plano x\!-\!z obtém-se
\Phi_{y=0}=-\frac{R^{4}}{8}.
No plano z=0 o campo reduz-se a \vec{a}\big|_{z=0}=0\,\vec{i}+0\,\vec{j}+x y\,\vec{k} e o normal exterior é (0,0,-1), de modo que \vec{a}\cdot\vec{n}=-x y. O domínio é o quadrante \{x\ge0,y\ge0,x^{2}+y^{2}\le R^{2}\}. Fazendo as mesmas contas em coordenadas polares no plano x\!-\!y também obtém-se
Interpretação rápida: o divergente nulo fez o fluxo total fechado ser zero, então o fluxo que sai pela casquinha esférica deve compensar o fluxo que entra (negativo) através dos planos coordenados; o resultado positivo \tfrac{3R^{4}}{8} indica fluxo líquido saindo pelo setor esférico.