Calcule o fluxo do vetor
\vec{a}=y z \vec{i}+x z \vec{j}+x y \vec{k}
através do lado exterior da parte da esfera
x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}
localizada no primeiro octante do sistema de coordenadas.

Passo 1

O enunciado fornece:
  • O campo vetorial \vec{a}=y z \,\vec{i}+x z \,\vec{j}+x y \,\vec{k}.
  • A superfície é a parte da esfera \,x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}\, localizada no primeiro octante (isto é, com x\ge0,\;y\ge0,\;z\ge0).
  • Pede-se o fluxo de \vec{a} através do lado exterior dessa parte da esfera (ou seja, a componente do fluxo cujo vetor normal é o exterior ao volume do primeiro octante do interior da esfera).
Informações relevantes dadas:
  • A superfície considerada é apenas a “tampa esférica” do volume V=\{x,y,z\ge0,\;x^{2}+y^{2}+z^{2}\le R^{2}\}.
  • O volume fechado por essa tampa esférica e pelos planos coordenados x=0, y=0 e z=0 é o octante de bola de raio R.
  • Queremos o fluxo pela face esférica com normal voltado para fora do volume (normal radial).

Passo 2

Estratégia escolhida (por que usar esse método): usar o Teorema da Divergência (Gauss) para o volume do primeiro octante da bola. Explicação do teorema: para um campo vetorial \vec{F} suave e um volume V com superfície fechada S=\partial V orientada para fora vale
\iint_{S}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS=\iiint_{V}\nabla\cdot\vec{F}\,dV.
Aqui S será a união da parte esférica (que é o que queremos) e das três parcelas nos planos coordenados. Usamos esse teorema porque muitas vezes a divergência é simples e a integral tripla fica mais fácil do que tentar parametrizar só a superfície esférica; além disso, a divergência pode anular e simplificar muito o cálculo.

Passo 3

Calcular a divergência de \vec{a}. Por definição
\nabla\cdot\vec{a}=\frac{\partial}{\partial x}(y z)+\frac{\partial}{\partial y}(x z)+\frac{\partial}{\partial z}(x y).
Cada derivada mútua é zero porque cada componente não depende da variável diferenciada:
\frac{\partial}{\partial x}(y z)=0,\qquad \frac{\partial}{\partial y}(x z)=0,\qquad \frac{\partial}{\partial z}(x y)=0.
Portanto
\nabla\cdot\vec{a}=0.

Passo 4

Aplicando o Teorema da Divergência ao volume V do octante, a integral tripla da divergência é zero:
\iiint_{V}\nabla\cdot\vec{a}\,dV=0.
Logo o fluxo total através da superfície fechada S= (tampa esférica) \cup (três planos coordenados) é zero:
\Phi_{\text{esfera}}+\Phi_{x=0}+\Phi_{y=0}+\Phi_{z=0}=0.
Portanto o fluxo pela superfície esférica que queremos é
\Phi_{\text{esfera}}=-(\Phi_{x=0}+\Phi_{y=0}+\Phi_{z=0}).
Agora vamos calcular cada fluxo através dos planos coordenados (cada um com normal apontando para fora do volume).

Passo 5

Fluxo através do plano x=0.
No plano x=0 (com y\ge0,\;z\ge0,\;y^{2}+z^{2}\le R^{2}) o vetor é
\vec{a}\big|_{x=0}=y z \,\vec{i}+0\,\vec{j}+0\,\vec{k}.
O vetor normal exterior ao volume em x=0 é \vec{n}=(-1,0,0). Assim o produto escalar é
\vec{a}\cdot\vec{n}=(y z)(-1)=-y z.
Portanto o fluxo através de x=0 é a integral dupla
\Phi_{x=0}=\iint_{D_{yz}}(-y z)\,dS,
onde D_{yz}=\{(y,z):y\ge0,z\ge0,y^{2}+z^{2}\le R^{2}\} é o quadrante do disco de raio R.
Passamos para coordenadas polares no plano y\!-\!z: y=r\cos\theta,\;z=r\sin\theta, com r\in[0,R], \theta\in[0,\pi/2], e dS=r\,dr\,d\theta. O integrando vira
-y z = -(r\cos\theta)(r\sin\theta) = -r^{2}\cos\theta\sin\theta,
então
\Phi_{x=0}=\int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{R} \bigl(-r^{2}\cos\theta\sin\theta\bigr)\, r\,dr\,d\theta =\int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{R} -r^{3}\cos\theta\sin\theta\,dr\,d\theta.
Calcule as integrais separadamente:
\int_{0}^{R} r^{3}\,dr=\frac{R^{4}}{4}, \qquad \int_{0}^{\pi/2}\cos\theta\sin\theta\,d\theta=\frac{1}{2}.
Logo
\Phi_{x=0}=-\frac{R^{4}}{4}\cdot\frac{1}{2}=-\frac{R^{4}}{8}.

Passo 6

Fluxos através de y=0 e z=0 por simetria.
No plano y=0 o campo reduz-se a \vec{a}\big|_{y=0}=0\,\vec{i}+x z\,\vec{j}+0\,\vec{k} e o normal exterior é (0,-1,0), de modo que \vec{a}\cdot\vec{n}=-x z. O domínio é o quadrante \{x\ge0,z\ge0,x^{2}+z^{2}\le R^{2}\}. Fazendo as mesmas contas em coordenadas polares no plano x\!-\!z obtém-se
\Phi_{y=0}=-\frac{R^{4}}{8}.
No plano z=0 o campo reduz-se a \vec{a}\big|_{z=0}=0\,\vec{i}+0\,\vec{j}+x y\,\vec{k} e o normal exterior é (0,0,-1), de modo que \vec{a}\cdot\vec{n}=-x y. O domínio é o quadrante \{x\ge0,y\ge0,x^{2}+y^{2}\le R^{2}\}. Fazendo as mesmas contas em coordenadas polares no plano x\!-\!y também obtém-se
\Phi_{z=0}=-\frac{R^{4}}{8}.
Portanto a soma dos fluxos nos três planos é
\Phi_{x=0}+\Phi_{y=0}+\Phi_{z=0}=-\frac{3R^{4}}{8}.

Passo 7

Fluxo pela parte esférica.
Usando a relação do Passo 4,
\Phi_{\text{esfera}}=-(\Phi_{x=0}+\Phi_{y=0}+\Phi_{z=0}) = -\Bigl(-\frac{3R^{4}}{8}\Bigr)=\frac{3R^{4}}{8}.
Interpretação rápida: o divergente nulo fez o fluxo total fechado ser zero, então o fluxo que sai pela casquinha esférica deve compensar o fluxo que entra (negativo) através dos planos coordenados; o resultado positivo \tfrac{3R^{4}}{8} indica fluxo líquido saindo pelo setor esférico.

Resposta

\displaystyle \frac{3R^{4}}{8}

Exercícios relacionados