Determinar o módulo e a direção do gradiente do campo
U=x^{3}+y^{3}+z^{3}-3 x y z
no ponto A=(2,1,1). Determine os pontos onde o gradiente do campo é perpendicular ao eixo O z e os pontos onde se anula.

Passo 1

O enunciado dá o campo escalar
U(x,y,z)=x^{3}+y^{3}+z^{3}-3xyz
e pede três coisas:
  • O módulo e a direção do gradiente de U no ponto A=(2,1,1).
  • Os pontos onde o gradiente de U é perpendicular ao eixo O z.
  • Os pontos onde o gradiente de U se anula.
Informações relevantes fornecidas: a expressão de U e o ponto A=(2,1,1). A resolução a seguir começa por definir e calcular o gradiente simbólicamente, depois avalia em A e responde às demais questões.

Passo 2

O que é o gradiente e como calcular? O gradiente de um campo escalar U(x,y,z) é o vetor formado pelas derivadas parciais de U em relação a cada variável. Em notação:
\nabla U=(\partial_{x}U,\;\partial_{y}U,\;\partial_{z}U).
Cada derivada parcial \partial_{x}U é a derivada de U em relação a x, tratando y e z como constantes; e análogamente para \partial_{y}U e \partial_{z}U.
Vamos calcular as derivadas parciais de U(x,y,z)=x^{3}+y^{3}+z^{3}-3xyz passo a passo.
Cálculo de \partial_{x}U:
  • Derivada de x^{3} em relação a x é 3x^{2}.
  • Termos y^{3} e z^{3} não dependem de x, então têm derivada 0.
  • Derivada de -3xyz em relação a x é -3yz (pois -3yz é constante em relação a x).
    Logo,
\partial_{x}U=3x^{2}-3yz.
Cálculo de \partial_{y}U:
  • Derivada de y^{3} é 3y^{2}.
  • Derivada de -3xyz em relação a y é -3xz.
    Portanto,
\partial_{y}U=3y^{2}-3xz.
Cálculo de \partial_{z}U:
  • Derivada de z^{3} é 3z^{2}.
  • Derivada de -3xyz em relação a z é -3xy.
    Portanto,
\partial_{z}U=3z^{2}-3xy.
Assim o gradiente geral é
\nabla U(x,y,z)=\bigl(3x^{2}-3yz,\;3y^{2}-3xz,\;3z^{2}-3xy\bigr).

Passo 3

Agora avaliamos o gradiente no ponto A=(2,1,1). Substituímos x=2, y=1, z=1 nas fórmulas das componentes.
Cálculo de \partial_{x}U(2,1,1):
\partial_{x}U(2,1,1)=3\cdot 2^{2}-3\cdot 1\cdot 1=3\cdot4-3=12-3=9.
Cálculo de \partial_{y}U(2,1,1):
\partial_{y}U(2,1,1)=3\cdot 1^{2}-3\cdot 2\cdot 1=3-6=-3.
Cálculo de \partial_{z}U(2,1,1):
\partial_{z}U(2,1,1)=3\cdot 1^{2}-3\cdot 2\cdot 1=3-6=-3.
Portanto o gradiente no ponto A é o vetor
\nabla U(2,1,1)=\bigl(9,\;-3,\;-3\bigr).

Passo 4

Vamos calcular o módulo (norma) desse vetor e a sua direção (vetor unitário).
Módulo do gradiente:
\|\nabla U(2,1,1)\|=\sqrt{9^{2}+(-3)^{2}+(-3)^{2}}=\sqrt{81+9+9}=\sqrt{99}.
Podemos simplificar \sqrt{99}= \sqrt{9\cdot 11}=3\sqrt{11}. Logo o módulo é 3\sqrt{11}.
Direção (vetor unitário): divide-se o vetor pelo seu módulo para obter a direção com norma 1:
\hat{u}=\frac{\nabla U(2,1,1)}{\|\nabla U(2,1,1)\|} =\frac{(9,-3,-3)}{3\sqrt{11}} =\frac{(3,-1,-1)}{\sqrt{11}}.
Interpretação didática rápida: o gradiente aponta na direção de crescimento mais rápido de U; o vetor unitário acima é essa direção normalizada.

Passo 5

Agora respondemos onde o gradiente é perpendicular ao eixo O z. Um vetor é perpendicular ao eixo O z quando sua componente na direção z é zero. A componente z do gradiente é \partial_{z}U=3z^{2}-3xy. Portanto impomos
3z^{2}-3xy=0.
Dividindo por 3,
z^{2}=xy.
Conclusão: o gradiente é perpendicular ao eixo O z exatamente nos pontos (x,y,z) que satisfazem \,z^{2}=xy. (Aqui usei a expressão de \partial_{z}U obtida no Passo 2.)

Passo 6

Por fim, determinamos os pontos onde o gradiente se anula, ou seja, onde todas as componentes são zero. Temos o sistema
\begin{cases} 3x^{2}-3yz=0,\\[4pt] 3y^{2}-3xz=0,\\[4pt] 3z^{2}-3xy=0. \end{cases}
Dividindo cada equação por 3\), obtemos o sistema equivalente \[\begin{cases} x^{2}=yz,\\[4pt] y^{2}=xz,\\[4pt] z^{2}=xy. \end{cases}
Resolvendo: uma solução óbvia é (x=y=z=0]. Vamos achar todas as soluções reais.
Se x=y=z=t (todas as coordenadas iguais a um mesmo t\in\mathbb{R}), então cada equação fica t^{2}=t\cdot t, verdadeira para qualquer t. Portanto toda a reta diagonal (t,t,t) satisfaz o sistema.
Mostramos que não há outras soluções: suponha que algum ponto tenha xyz\neq 0. Podemos dividir a primeira equação por x^{2} e definir a=\dfrac{y}{x}, b=\dfrac{z}{x}. As equações tornam-se
ab=1,\qquad a^{2}=b,\qquad b^{2}=a.
Da segunda b=a^{2}. Substituindo em ab=1 a\cdot a^{2}=1\Rightarrow a^{3}=1. A única raiz real é a=1. Então a=1 e b=a^{2}=1, o que implica y=x e z=x. Assim x=y=z. Portanto, os únicos pontos com gradiente nulo são exatamente os pontos da forma (t,t,t) com t\in\mathbb{R}. Isso inclui o caso t=0.]

Resposta

Módulo: 3\sqrt{11}
Direção (vetor unitário): \dfrac{(3,-1,-1)}{\sqrt{11}}
Pontos onde \nabla U é perpendicular ao eixo O z: \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid z^{2}=xy\}
Pontos onde \nabla U se anula: \{(t,t,t)\in\mathbb{R}^{3}\mid t\in\mathbb{R}\}

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