Um escoamento turbulento desenvolvido de água no interior de um tubo horizontal, com diâmetro de 50 mm , tem diferença de pressão de 7,5 \mathrm{kPa} ao longo de um trecho de 1,5 \mathrm{~m}. a) Determine as distâncias da parede em que ocorrem a subcamada viscosa, região tampão e região turbulenta. b) Determine o perfil de velocidades na subcamada viscosa e na região turbulenta. c) Determine uma equação para o perfil de velocidades para a região tampão (suponha perfil linear de velocidades). d) Determine a velocidade máxima no centro da tubulação.

Passo 1

O enunciado dá um escoamento turbulento totalmente desenvolvido de água em um tubo horizontal com os seguintes dados:
  • Diâmetro do tubo: D = 0,05\\ \mathrm{m}.
  • Trecho considerado: L = 1,5\\ \mathrm{m}.
  • Queda de pressão no trecho: \Delta p = 7,5\\ \mathrm{kPa}=7\,500\\ \mathrm{Pa}.
    O que se pede:
    (a) determinar as distâncias da parede (valores de y) em que ocorrem a subcamada viscosa, a região tampão (buffer) e a região turbulenta (log);
    (b) obter o perfil de velocidades na subcamada viscosa e na região turbulenta;
    (c) obter uma equação do perfil de velocidades para a região tampão, assumindo perfil linear;
    (d) determinar a velocidade máxima no centro da tubulação.
Informações físicas e convenções que vamos usar (valores típicos para água à temperatura ambiente):
  • Densidade da água: \rho = 1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
  • Viscosidade cinemática: \nu = 1{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{m^{2}/s}.
  • Para o “law of the wall” (região log) usaremos constantes empíricas: constante de von Kármán \kappa = 0{,}41 e constante aditiva B = 5{,}0.
  • Definição de velocidade de fricção: u_{*}=\sqrt{\tau_{w}/\rho}.
  • Variável adimensionales: u^{+}=u/u_{*} e y^{+}=y\,u_{*}/\nu.
    Nenhuma outra informação será assumida sem explicitação.

Passo 2

Vamos obter a tensão de cisalhamento na parede \tau_{w} a partir da queda de pressão. Em escoamento totalmente desenvolvido em tubo circular vale o balanço de forças:
\tau_{w}\,\pi D L \;=\; \Delta p \;\frac{\pi D^{2}}{4}
dessa relação segue
\tau_{w}=\frac{D}{4}\,\frac{\Delta p}{L}.
Calculemos numericamente:
\frac{\Delta p}{L}=\frac{7500}{1{,}5}=5000\\ \mathrm{Pa/m}, \qquad \tau_{w}=\frac{0{,}05}{4}\times 5000 = 0{,}0125\times5000 = 62{,}5\\ \mathrm{Pa}.
Agora a velocidade de fricção:
u_{*}=\sqrt{\frac{\tau_{w}}{\rho}}=\sqrt{\frac{62{,}5}{1000}}=\sqrt{0{,}0625}=0{,}25\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

Definição e cálculo das fronteiras (usando os limites usuais em termos de y^{+}):
  • Subcamada viscosa: geralmente para y^{+}\lesssim 5.
  • Região tampão (buffer): aproximadamente 5\lesssim y^{+}\lesssim 30.
  • Região turbulenta log (outer): y^{+}\gtrsim 30 até a região central.
Convertendo y^{+} em distância dimensional y pela relação y = y^{+}\,\dfrac{\nu}{u_{*}}, com \nu=1{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{m^{2}/s} e u_{*}=0{,}25\\ \mathrm{m/s}:
\frac{\nu}{u_{*}}=\frac{1{,}0\times10^{-6}}{0{,}25}=4{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{s}.
Portanto:
  • Limiar subcamada viscosa ( y^{+}=5):
y_{\text{visc, max}}=5\cdot4{,}0\times10^{-6}=2{,}0\times10^{-5}\\ \mathrm{m}=20\\ \mu\mathrm{m}.
  • Limiar externo da região tampão ( y^{+}=30):
y_{\text{buffer, max}}=30\cdot4{,}0\times10^{-6}=1{,}20\times10^{-4}\\ \mathrm{m}=120\\ \mu\mathrm{m}.
Raio da tubulação:
R=\frac{D}{2}=0{,}025\\ \mathrm{m}=25{,}0\\ \mathrm{mm}.
Observação: o centro da tubulação tem y=R que corresponde a
y^{+}_{\text{centro}}=\frac{R\,u_{*}}{\nu}=\frac{0{,}025\times0{,}25}{1{,}0\times10^{-6}}=6250,
ou seja, muito maior que 30 (região bem turbulenta).

Passo 4

Perfil de velocidade na subcamada viscosa (a teoria e a fórmula):
  • Na subcamada viscosa a tensão viscosa domina e vale a lei linear adimensional:
u^{+}=y^{+}\quad\text{(para }y^{+}\lesssim 5\text{)}.
Desdobrando em termos de u e y:
u = u_{*}\,y^{+} = u_{*}\,\frac{y\,u_{*}}{\nu} = \frac{u_{*}^{2}}{\nu}\,y.
Explicação curta: u^{+}=u/u_{*} é proporcional a y^{+}=y u_{*}/\nu porque nos pequenos y o escoamento é dominado pela difusão viscosa; então a velocidade cresce linearmente a partir da parede.
Calculemos a constante numérica:
\frac{u_{*}^{2}}{\nu}=\frac{(0{,}25)^{2}}{1{,}0\times10^{-6}}=\frac{0{,}0625}{1{,}0\times10^{-6}}=6{,}25\times10^{4}\\ \mathrm{s^{-1}}.
Logo a expressão prática:
\boxed{u(y)=6{,}25\times10^{4}\,y\quad\text{(m/s), para }0\le y\le 2{,}0\times10^{-5}\\ \mathrm{m}.}
Exemplo numérico na borda da subcamada ( y=2{,}0\times10^{-5}\\ \mathrm{m}):
u=6{,}25\times10^{4}\times 2{,}0\times10^{-5}=1{,}25\\ \mathrm{m/s},
que coincide com u=u_{*}y^{+}=0{,}25\times5=1{,}25\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Perfil de velocidade na região turbulenta (lei logarítmica da parede):
  • Para a região log (turbulenta próxima à parede, y^{+}\gtrsim 30) usa-se a “law of the wall”:
u^{+}=\frac{1}{\kappa}\ln(y^{+})+B,
onde \kappa e B são constantes empíricas ( \kappa=0{,}41,\;B=5{,}0 aqui). Em termos de y e u:
\boxed{u(y)=u_{*}\left(\frac{1}{\kappa}\ln\!\left(\frac{y\,u_{*}}{\nu}\right)+B\right).}
Substituindo os números conhecidos ( u_{*}=0{,}25, \nu=1{,}0\times10^{-6}):
u(y)=0{,}25\left(\frac{1}{0{,}41}\ln\!\left(\frac{0{,}25\,y}{1{,}0\times10^{-6}}\right)+5{,}0\right).
Cálculo de exemplo na borda externa do buffer ( y=1{,}20\times10^{-4}\\ \mathrm{m}, que tem y^{+}=30):
y^{+}=30\quad\Rightarrow\quad u^{+}=\frac{1}{0{,}41}\ln(30)+5{,}0\approx 13{,}296,
u(1{,}20\times10^{-4})=0{,}25\times 13{,}296 \approx 3{,}324\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Equação linear adotada para a região tampão (buffer), usando continuidade de velocidades nas fronteiras:
  • Ponto interno (fim da subcamada viscosa): y_{1}=2{,}0\times10^{-5}\\ \mathrm{m}, u_{1}=1{,}25\\ \mathrm{m/s} (calculado no Passo 4).
  • Ponto externo (início da região log): y_{2}=1{,}20\times10^{-4}\\ \mathrm{m}, u_{2}\approx 3{,}324\\ \mathrm{m/s} (calculado no Passo 5).
    Assumindo perfil linear entre esses dois pontos:
u(y)=u_{1}+\frac{u_{2}-u_{1}}{y_{2}-y_{1}}\,(y-y_{1}).
Calculemos a inclinação:
\Delta u = u_{2}-u_{1}=3{,}324-1{,}25=2{,}074\\ \mathrm{m/s}, \qquad \Delta y = y_{2}-y_{1}=1{,}00\times10^{-4}\\ \mathrm{m},
\text{slope}=\frac{\Delta u}{\Delta y}=2{,}074/(1{,}00\times10^{-4})=2{,}074\times10^{4}\\ \mathrm{(s^{-1})}.
Assim a forma explícita (coeficientes numéricos):
\boxed{u(y)=0{,}8352 + 2{,}074\times10^{4}\,y\quad\text{(m/s), para }2{,}0\times10^{-5}\le y\le 1{,}20\times10^{-4}\\ \mathrm{m}.}
(Verificação: em y=y_{1} u=1{,}25; em y=y_{2} u\approx3{,}324.)

Passo 7

Velocidade máxima no centro da tubulação:
  • Para estimar u_{\max}=u(y=R) usamos a lei log até o centro (observação: na realidade perto do centro existe correção de “wake”, mas o enunciado pede perfil e velocidade máxima; usaremos a extrapolação logarítmica padrão).
    Aplicando a expressão do Passo 5 em y=R=0{,}025\\ \mathrm{m}:
y^{+}_{\text{centro}}=\frac{R\,u_{*}}{\nu}=6250,
u^{+}_{\text{centro}}=\frac{1}{\kappa}\ln(6250)+B =\frac{1}{0{,}41}\ln(6250)+5{,}0.
Cálculo numérico:
\ln(6250)\approx 8{,}7403,\qquad \frac{1}{0{,}41}\approx 2{,}4390,
u^{+}_{\text{centro}}\approx 2{,}4390\times 8{,}7403 + 5{,}0 \approx 26{,}316,
u_{\max}=u(R)=u_{*}\,u^{+}_{\text{centro}}\approx 0{,}25\times 26{,}316 \approx 6{,}58\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

(a) Subcamada viscosa: 0\le y\lesssim 2{,}0\times10^{-5}\\ \mathrm{m} (até y^{+}\approx 5). Região tampão (buffer): 2{,}0\times10^{-5}\\ \mathrm{m}\lesssim y\lesssim 1{,}20\times10^{-4}\\ \mathrm{m} (aprox. 5\le y^{+}\le30). Região turbulenta (log / externa): y\gtrsim 1{,}20\times10^{-4}\\ \mathrm{m} até o centro y=R=0{,}025\\ \mathrm{m}.
(b) Subcamada viscosa: \displaystyle u(y)=\frac{u_{*}^{2}}{\nu}\,y=6{,}25\times10^{4}\,y\\ \mathrm{(m/s)} para 0\le y\le 2{,}0\times10^{-5}\\ \mathrm{m}. Região turbulenta (lei log): \displaystyle u(y)=u_{*}\!\left(\frac{1}{\kappa}\ln\!\left(\frac{y\,u_{*}}{\nu}\right)+B\right), isto é \displaystyle u(y)=0{,}25\!\left(\frac{1}{0{,}41}\ln\!\left(\frac{0{,}25\,y}{1{,}0\times10^{-6}}\right)+5{,}0\right).
(c) Região tampão (assumindo linear): \displaystyle u(y)=0{,}8352 + 2{,}074\times10^{4}\,y\\ \mathrm{(m/s)} para 2{,}0\times10^{-5}\le y\le 1{,}20\times10^{-4}\\ \mathrm{m}.
(d) Velocidade máxima no centro (estimada pela extrapolação log): \displaystyle u_{\max}=u(R)\approx 6{,}58\\ \mathrm{m/s}.

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