Um escoamento turbulento desenvolvido de água no interior de um tubo horizontal, com diâmetro de 50 mm , tem diferença de pressão de
ao longo de um trecho de
. a) Determine as distâncias da parede em que ocorrem a subcamada viscosa, região tampão e região turbulenta. b) Determine o perfil de velocidades na subcamada viscosa e na região turbulenta. c) Determine uma equação para o perfil de velocidades para a região tampão (suponha perfil linear de velocidades). d) Determine a velocidade máxima no centro da tubulação.
Passo 1
O enunciado dá um escoamento turbulento totalmente desenvolvido de água em um tubo horizontal com os seguintes dados:
- Diâmetro do tubo:
. - Trecho considerado:
. - Queda de pressão no trecho:
.
O que se pede:
(a) determinar as distâncias da parede (valores de) em que ocorrem a subcamada viscosa, a região tampão (buffer) e a região turbulenta (log);
(b) obter o perfil de velocidades na subcamada viscosa e na região turbulenta;
(c) obter uma equação do perfil de velocidades para a região tampão, assumindo perfil linear;
(d) determinar a velocidade máxima no centro da tubulação.
Informações físicas e convenções que vamos usar (valores típicos para água à temperatura ambiente):
- Densidade da água:
. - Viscosidade cinemática:
. - Para o “law of the wall” (região log) usaremos constantes empíricas: constante de von Kármán
e constante aditiva . - Definição de velocidade de fricção:
. - Variável adimensionales:
e .
Nenhuma outra informação será assumida sem explicitação.
Passo 2
Vamos obter a tensão de cisalhamento na parede
a partir da queda de pressão. Em escoamento totalmente desenvolvido em tubo circular vale o balanço de forças:
dessa relação segue
Calculemos numericamente:
Agora a velocidade de fricção:
Passo 3
Definição e cálculo das fronteiras (usando os limites usuais em termos de
):
- Subcamada viscosa: geralmente para
. - Região tampão (buffer): aproximadamente
. - Região turbulenta log (outer):
até a região central.
Convertendo
em distância dimensional
pela relação
, com
e
:
Portanto:
- Limiar subcamada viscosa (
):
- Limiar externo da região tampão (
):
Raio da tubulação:
Observação: o centro da tubulação tem
que corresponde a
ou seja, muito maior que
(região bem turbulenta).
Passo 4
Perfil de velocidade na subcamada viscosa (a teoria e a fórmula):
- Na subcamada viscosa a tensão viscosa domina e vale a lei linear adimensional:
Desdobrando em termos de
e
:
Explicação curta:
é proporcional a
porque nos pequenos
o escoamento é dominado pela difusão viscosa; então a velocidade cresce linearmente a partir da parede.
Calculemos a constante numérica:
Logo a expressão prática:
Exemplo numérico na borda da subcamada (
):
que coincide com
.
Passo 5
Perfil de velocidade na região turbulenta (lei logarítmica da parede):
- Para a região log (turbulenta próxima à parede,
) usa-se a “law of the wall”:
onde
e
são constantes empíricas (
aqui). Em termos de
e
:
Substituindo os números conhecidos (
,
):
Cálculo de exemplo na borda externa do buffer (
, que tem
):
Passo 6
Equação linear adotada para a região tampão (buffer), usando continuidade de velocidades nas fronteiras:
- Ponto interno (fim da subcamada viscosa):
, (calculado no Passo 4). - Ponto externo (início da região log):
, (calculado no Passo 5).
Assumindo perfil linear entre esses dois pontos:
Calculemos a inclinação:
Assim a forma explícita (coeficientes numéricos):
(Verificação: em
dá
; em
dá
.)
Passo 7
Velocidade máxima no centro da tubulação:
- Para estimar
usamos a lei log até o centro (observação: na realidade perto do centro existe correção de “wake”, mas o enunciado pede perfil e velocidade máxima; usaremos a extrapolação logarítmica padrão).
Aplicando a expressão do Passo 5 em:
Cálculo numérico:
Resposta
(a) Subcamada viscosa:
(até
). Região tampão (buffer):
(aprox.
). Região turbulenta (log / externa):
até o centro
.
(b) Subcamada viscosa: para
. Região turbulenta (lei log):
, isto é
.
(c) Região tampão (assumindo linear): para
.
(d) Velocidade máxima no centro (estimada pela extrapolação log): .
(b) Subcamada viscosa:
(c) Região tampão (assumindo linear):
(d) Velocidade máxima no centro (estimada pela extrapolação log):