7- Para o campo de velocidade
, determine:
- As linhas de trajetória de uma partícula deste escoamento
- A linha de trajetória de uma partícula situada em
no instante
;
Passo 1
O enunciado dá o campo de velocidade
e pede as linhas de trajetória, ou seja, as curvas
que satisfazem o sistema de EDOs
Vamos integrar cada uma para obter a forma geral de
e depois aplicar a condição inicial do item (b).
Passo 2
Resolver
.
Esta é uma EDO linear e homogênea; a solução geral é
Esta é uma EDO linear e homogênea; a solução geral é
onde
é constante de integração.
Passo 3
Resolver
.
Usamos fator integrante ou notamos que a parte homogênea e buscamos solução particular constante
.
Logo, a solução geral é
Usamos fator integrante ou notamos que a parte homogênea
Logo, a solução geral é
com
constante de integração.
Passo 4
Resolver
.
Basta integrar em :
Basta integrar em
onde
é constante de integração.
Passo 5
Aplicar a condição inicial para a partícula que em
está em
.
Isto é,
Isto é,
De
segue
De
vem
De
obtemos
Resposta
As linhas de trajetória gerais são
com
dados pela condição inicial escolhida.
Para a partícula em
em
, temos a linha de trajetória particular