7- Para o campo de velocidade \mathbf{u}=5 x_{1} \hat{e}_{1}+\left(15 x_{2}+11\right) \hat{e}_{2}+\left(19 t^{2}\right) \hat{e}_{3}, determine:
  • As linhas de trajetória de uma partícula deste escoamento
  • A linha de trajetória de uma partícula situada em \mathbf{x}=(4,6,2) no instante t=3 s;

Passo 1

O enunciado dá o campo de velocidade
\mathbf{u}(x_{1},x_{2},x_{3},t)=5\,x_{1}\,\hat e_{1}+\bigl(15\,x_{2}+11\bigr)\,\hat e_{2}+19\,t^{2}\,\hat e_{3}
e pede as linhas de trajetória, ou seja, as curvas \mathbf{x}(t) que satisfazem o sistema de EDOs
\frac{\mathrm{d}x_{1}}{\mathrm{d}t}=5\,x_{1},\quad \frac{\mathrm{d}x_{2}}{\mathrm{d}t}=15\,x_{2}+11,\quad \frac{\mathrm{d}x_{3}}{\mathrm{d}t}=19\,t^{2}.
Vamos integrar cada uma para obter a forma geral de \mathbf{x}(t) e depois aplicar a condição inicial do item (b).

Passo 2

Resolver \displaystyle \frac{\mathrm{d}x_{1}}{\mathrm{d}t}=5\,x_{1}.
Esta é uma EDO linear e homogênea; a solução geral é
x_{1}(t)=C_{1}\,e^{5t},
onde C_{1} é constante de integração.

Passo 3

Resolver \displaystyle \frac{\mathrm{d}x_{2}}{\mathrm{d}t}=15\,x_{2}+11.
Usamos fator integrante ou notamos que a parte homogênea x_{2,h}=K\,e^{15t} e buscamos solução particular constante x_{2,p}=-\tfrac{11}{15}.
Logo, a solução geral é
x_{2}(t)=C_{2}\,e^{15t}-\frac{11}{15},
com C_{2} constante de integração.

Passo 4

Resolver \displaystyle \frac{\mathrm{d}x_{3}}{\mathrm{d}t}=19\,t^{2}.
Basta integrar em t:
x_{3}(t)=\int 19\,t^{2}\,\mathrm{d}t=\frac{19}{3}\,t^{3}+C_{3},
onde C_{3} é constante de integração.

Passo 5

Aplicar a condição inicial para a partícula que em t=3\,\mathrm{s} está em \mathbf{x}=(4,6,2).
Isto é,
x_{1}(3)=4,\quad x_{2}(3)=6,\quad x_{3}(3)=2.
De x_{1}(3)=C_{1}e^{15}=4 segue
C_{1}=4\,e^{-15}.
De x_{2}(3)=C_{2}e^{45}-\tfrac{11}{15}=6 vem
C_{2}=\bigl(6+\tfrac{11}{15}\bigr)e^{-45}=\frac{101}{15}\,e^{-45}.
De x_{3}(3)=\tfrac{19}{3}\cdot27+C_{3}=2 obtemos
C_{3}=2-171=-169.

Resposta

As linhas de trajetória gerais são
x_{1}(t)=C_{1}\,e^{5t},\quad x_{2}(t)=C_{2}\,e^{15t}-\frac{11}{15},\quad x_{3}(t)=\frac{19}{3}\,t^{3}+C_{3},
com C_{1},C_{2},C_{3} dados pela condição inicial escolhida.
Para a partícula em \mathbf{x}=(4,6,2) em t=3\,\mathrm{s}, temos a linha de trajetória particular
x_{1}(t)=4\,e^{5(t-3)},\quad x_{2}(t)=\frac{101}{15}\,e^{15(t-3)}-\frac{11}{15},\quad x_{3}(t)=\frac{19}{3}\,t^{3}-169.

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