Para um dado vetor u e um escalar
, demonstre as seguintes identidades vetoriais usando notação indicial:
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar três identidades de cálculo vetorial usando notação indicial (convenção de soma de Einstein). Vamos precisar de:
– A derivada parcial em relação à coordenada
.
– A regra do produto para derivadas.
– O tensor de Levi-Civita .
– O fato de que derivadas parciais comutam: .
– A derivada parcial
– A regra do produto para derivadas.
– O tensor de Levi-Civita
– O fato de que derivadas parciais comutam:
Passo 2
Demonstração de
.
Em notação indicial, a divergência de é
Em notação indicial, a divergência de
Pela regra do produto,
Reescrevendo,
Passo 3
Demonstração de
.
O componente do rotacional de
vale
O componente
Como
e
é anti-simétrico em
, cada termo cancela com o seu trocado, dando zero. Logo
Passo 4
Demonstração de
.
Escrevendo em indicial,
Escrevendo em indicial,
De novo,
e a anti-simetria de
em
força o somatório a zero. Assim
Resposta
As três identidades foram demonstradas em notação indicial: