Para um dado vetor u e um escalar f, demonstre as seguintes identidades vetoriais usando notação indicial:
\begin{aligned} & \nabla \cdot(f \mathbf{u})=f(\nabla \cdot \mathbf{u})+\mathbf{u} \cdot \nabla f \\\ & \nabla \times(\nabla f)=0 \\\ & \nabla \cdot(\nabla \times \mathbf{u})=0 \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar três identidades de cálculo vetorial usando notação indicial (convenção de soma de Einstein). Vamos precisar de:
– A derivada parcial \partial_i em relação à coordenada x_i.
– A regra do produto para derivadas.
– O tensor de Levi-Civita \varepsilon_{ijk}.
– O fato de que derivadas parciais comutam: \partial_i\partial_j f=\partial_j\partial_i f.

Passo 2

Demonstração de \nabla\cdot(f\mathbf u)=f(\nabla\cdot\mathbf u)+\mathbf u\cdot\nabla f.
Em notação indicial, a divergência de f\mathbf u é
\nabla\cdot(f\mathbf u)=\partial_i\bigl(f\,u_i\bigr).
Pela regra do produto,
\partial_i\bigl(f\,u_i\bigr) =(\partial_i f)\,u_i+f\,(\partial_i u_i).
Reescrevendo,
\partial_i\bigl(f\,u_i\bigr) =u_i\,\partial_i f + f\,\partial_i u_i \;\Longrightarrow\; \nabla\cdot(f\mathbf u) =\mathbf u\cdot\nabla f + f\,\nabla\cdot\mathbf u.

Passo 3

Demonstração de \nabla\times(\nabla f)=0.
O componente i do rotacional de \nabla f vale
\bigl(\nabla\times(\nabla f)\bigr)_i =\varepsilon_{ijk}\,\partial_j(\partial_k f) =\varepsilon_{ijk}\,\partial_j\partial_k f.
Como \partial_j\partial_k f=\partial_k\partial_j f e \varepsilon_{ijk} é anti-simétrico em j,k, cada termo cancela com o seu trocado, dando zero. Logo
\nabla\times(\nabla f)=0.

Passo 4

Demonstração de \nabla\cdot(\nabla\times\mathbf u)=0.
Escrevendo em indicial,
\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf u) =\partial_i\bigl(\varepsilon_{ijk}\,\partial_j u_k\bigr) =\varepsilon_{ijk}\,\partial_i\partial_j u_k.
De novo, \partial_i\partial_j u_k=\partial_j\partial_i u_k e a anti-simetria de \varepsilon_{ijk} em i,j força o somatório a zero. Assim
\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf u)=0.

Resposta

As três identidades foram demonstradas em notação indicial:
\nabla\cdot(f\mathbf u)=f(\nabla\cdot\mathbf u)+\mathbf u\cdot\nabla f, \quad \nabla\times(\nabla f)=0, \quad \nabla\cdot(\nabla\times\mathbf u)=0.

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