Um campo de velocidade na região mostrada dado por
, em que
e
. Para o volume de controle triangular de
(com profundidade
perpendicular ao diagrama), um elemento de área (1) pode ser representado por
e um elemento de área (2) por
(a) Encontre uma expressão para
.
(b) Avalie
(c) Encontre uma expressão para
.
(d) Encontre uma expressão para
.
(e) Avalie
(a) Encontre uma expressão para
(b) Avalie
(c) Encontre uma expressão para
(d) Encontre uma expressão para
(e) Avalie
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede as quantidades (a)–(e):
- Campo de velocidade:
, com e . - Profundidade (no sentido
, perpendicular ao diagrama): . - Foi dado um elemento de área para a superfície
: e para a superfície : - A região no plano
é um triângulo de lados (logo vai de a ); a figura mostra que as integrais em (b) e (e) devem ser feitas sobre . - Perguntas:
(a) encontrar expressão para;
(b) avaliar;
(c) encontrar expressão para;
(d) encontrar expressão para;
(e) avaliar.
Passo 2
Lembrete rápido (didático e prático): o produto escalar entre dois vetores
e
é
Aqui usaremos isso para calcular
. Substituímos componentes de
e de
e somamos os produtos das componentes correspondentes.
Para ficar claro:
Passo 3
Calcule
usando o produto escalar. Temos
e
Aplicando o produto escalar:
(Nota: os termos com
caem porque
não tem componente em
.)
Passo 4
Agora avaliamos a integral de fluxo sobre
. Como o resultado em (a) depende apenas de
e o triângulo tem
variando de
a
, integrando:
Substituindo
e
:
Passo 5
Calcule
. Usando
temos
Passo 6
Agora formamos o produto vetorial-escalar pedido (na verdade é multiplicação de vetor por escalar):
. Usamos o escalar obtido em (c):
Distribuindo:
Passo 7
Integral sobre
de
: integramos o resultado de (c) em
:
Substituindo
e
:
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(b)
(c)
(d)
(e)