Um campo de velocidade na região mostrada dado por \boldsymbol{V}=(a \boldsymbol{j}+b y \boldsymbol{k}), em que a=10 m / s e b=5 s^{-1}. Para o volume de controle triangular de 1 m \mathrm{X} 1 m (com profundidade w=1 m perpendicular ao diagrama), um elemento de área (1) pode ser representado por d \boldsymbol{A}_{1}=w d z \boldsymbol{i} \boldsymbol{k}+ w d y \boldsymbol{k} e um elemento de área (2) por d \boldsymbol{A}_{2}=-w d y \boldsymbol{k}
(a) Encontre uma expressão para \boldsymbol{V} \cdot d \boldsymbol{A}_{1}.
(b) Avalie \int_{\mathrm{A} 1} \boldsymbol{V} \cdot d \boldsymbol{A}_{\boldsymbol{1}}
(c) Encontre uma expressão para \boldsymbol{V} \cdot d \boldsymbol{A}_{2}.
(d) Encontre uma expressão para \boldsymbol{V}\left(\boldsymbol{V} \cdot d \boldsymbol{A}_{2}\right).
(e) Avalie \int_{\mathrm{A} 2} \boldsymbol{V} \cdot \boldsymbol{d} \boldsymbol{A}_{2}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede as quantidades (a)–(e):
  • Campo de velocidade: \boldsymbol{V}=a\,\boldsymbol{j}+b\,y\,\boldsymbol{k}, com a=10\\ \mathrm{m/s} e b=5\\ \mathrm{s^{-1}}.
  • Profundidade (no sentido x, perpendicular ao diagrama): w=1\\ \mathrm{m}.
  • Foi dado um elemento de área para a superfície 1: d\boldsymbol{A}_1 = w\,dz\,\boldsymbol{i} + w\,dy\,\boldsymbol{k},e para a superfície 2: d\boldsymbol{A}_2 = -\,w\,dy\,\boldsymbol{k}.
  • A região no plano y\!-\!z é um triângulo de lados 1\\ \mathrm{m} (logo y vai de 0 a 1); a figura mostra que as integrais em (b) e (e) devem ser feitas sobre y\in[0,1].
  • Perguntas:
    (a) encontrar expressão para \boldsymbol{V}\cdot d\boldsymbol{A}_1;
    (b) avaliar \displaystyle\int_{A1}\boldsymbol{V}\cdot d\boldsymbol{A}_1;
    (c) encontrar expressão para \boldsymbol{V}\cdot d\boldsymbol{A}_2;
    (d) encontrar expressão para \boldsymbol{V}\big(\boldsymbol{V}\cdot d\boldsymbol{A}_2\big);
    (e) avaliar \displaystyle\int_{A2}\boldsymbol{V}\cdot d\boldsymbol{A}_2.

Passo 2

Lembrete rápido (didático e prático): o produto escalar entre dois vetores \boldsymbol{u}=u_x\boldsymbol{i}+u_y\boldsymbol{j}+u_z\boldsymbol{k} e \boldsymbol{v}=v_x\boldsymbol{i}+v_y\boldsymbol{j}+v_z\boldsymbol{k} é
\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{v}=u_x v_x + u_y v_y + u_z v_z.
Aqui usaremos isso para calcular \boldsymbol{V}\cdot d\boldsymbol{A}. Substituímos componentes de \boldsymbol{V} e de d\boldsymbol{A} e somamos os produtos das componentes correspondentes.
Para ficar claro: \boldsymbol{V}=0\cdot\boldsymbol{i} + a\cdot\boldsymbol{j} + (b y)\cdot\boldsymbol{k}.

Passo 3

Calcule \boldsymbol{V}\cdot d\boldsymbol{A}_1 usando o produto escalar. Temos
d\boldsymbol{A}_1 = w\,dz\,\boldsymbol{i} + w\,dy\,\boldsymbol{k}
e
\boldsymbol{V}=0\cdot\boldsymbol{i}+a\cdot\boldsymbol{j}+b y\cdot\boldsymbol{k}.
Aplicando o produto escalar:
\boldsymbol{V}\cdot d\boldsymbol{A}_1 = (0)(w\,dz) + (a)(0) + (b y)(w\,dy) = b\,w\,y\,dy.
(Nota: os termos com dz caem porque \boldsymbol{V} não tem componente em \boldsymbol{i}.)

Passo 4

Agora avaliamos a integral de fluxo sobre A1. Como o resultado em (a) depende apenas de y e o triângulo tem y variando de 0 a 1, integrando:
\int_{A1}\boldsymbol{V}\cdot d\boldsymbol{A}_1 = \int_{y=0}^{1} b\,w\,y\,dy = b\,w\int_{0}^{1} y\,dy = b\,w\left[\tfrac{y^{2}}{2}\right]_{0}^{1} = \tfrac{1}{2} b\,w.
Substituindo b=5 e w=1:
\int_{A1}\boldsymbol{V}\cdot d\boldsymbol{A}_1 = \tfrac{1}{2}\cdot 5\cdot 1 = 2,5.

Passo 5

Calcule \boldsymbol{V}\cdot d\boldsymbol{A}_2. Usando
d\boldsymbol{A}_2 = -\,w\,dy\,\boldsymbol{k},
temos
\boldsymbol{V}\cdot d\boldsymbol{A}_2 = (0)(0) + (a)(0) + (b y)(-w\,dy) = -\,b\,w\,y\,dy.

Passo 6

Agora formamos o produto vetorial-escalar pedido (na verdade é multiplicação de vetor por escalar): \boldsymbol{V}\big(\boldsymbol{V}\cdot d\boldsymbol{A}_2\big). Usamos o escalar obtido em (c):
\boldsymbol{V}\big(\boldsymbol{V}\cdot d\boldsymbol{A}_2\big) = \boldsymbol{V}\cdot\big(-b\,w\,y\,dy\big) = -b\,w\,y\,dy\;\big(a\,\boldsymbol{j}+b y\,\boldsymbol{k}\big).
Distribuindo:
\boldsymbol{V}\big(\boldsymbol{V}\cdot d\boldsymbol{A}_2\big) = -a b\,w\,y\,dy\;\boldsymbol{j} \;-\; b^{2} w\,y^{2}\,dy\;\boldsymbol{k}.

Passo 7

Integral sobre A2 de \boldsymbol{V}\cdot d\boldsymbol{A}_2: integramos o resultado de (c) em y\in[0,1]:
\int_{A2}\boldsymbol{V}\cdot d\boldsymbol{A}_2 = \int_{0}^{1} -\,b\,w\,y\,dy = -\,b\,w\int_{0}^{1} y\,dy = -\,\tfrac{1}{2} b\,w.
Substituindo b=5 e w=1:
\int_{A2}\boldsymbol{V}\cdot d\boldsymbol{A}_2 = -\tfrac{1}{2}\cdot 5\cdot 1 = -2,5.

Resposta

(a) \boldsymbol{V}\cdot d\boldsymbol{A}_1 = b\,w\,y\,dy.
(b) \displaystyle\int_{A1}\boldsymbol{V}\cdot d\boldsymbol{A}_1 = \tfrac{1}{2} b\,w = 2,5.
(c) \boldsymbol{V}\cdot d\boldsymbol{A}_2 = -\,b\,w\,y\,dy.
(d) \boldsymbol{V}\big(\boldsymbol{V}\cdot d\boldsymbol{A}_2\big) = -a b\,w\,y\,dy\,\boldsymbol{j} - b^{2} w\,y^{2}\,dy\,\boldsymbol{k}.
(e) \displaystyle\int_{A2}\boldsymbol{V}\cdot d\boldsymbol{A}_2 = -\tfrac{1}{2} b\,w = -2,5.

Exercícios relacionados