(Física)Cada uma das placas de um capacitor plano tem uma superficie de 200 \mathrm{~cm}^{2}; o dielétrico é mica, com espessura de 2 m m e uma constante dielétrica \varepsilon=5. Calcular:
a. A capacitância do capacitor.
b. A carga em cada armadura quando a tensão entre elas for de 1.000 V .
c. O gradiente de potencial ou a intensidade do campo elétrico entre as armaduras.

Passo 1

O enunciado pede três coisas e nos dá alguns dados. Vou listar claramente o que é pedido e os dados fornecidos:
  • Perguntas do enunciado:
    1. Calcular a capacitância do capacitor.
    2. Calcular a carga em cada armadura quando a tensão entre elas for de 1{,}000\\ \mathrm{V}.
    3. Calcular o gradiente de potencial (ou intensidade do campo elétrico) entre as armaduras.
  • Dados fornecidos:
    • Área de cada placa: 200\\ \mathrm{cm}^2.
    • Espessura (separação entre placas): 2\\ \mathrm{mm}.
    • Constante dielétrica (permitividade relativa) da mica: \varepsilon_r = 5.
    • Tensão aplicada para a pergunta (b): V = 1{,}000\\ \mathrm{V}.
Fim da identificação dos pedidos e dos dados; agora vamos transformar unidades e aplicar as fórmulas passo a passo.

Passo 2

Converter as unidades para o sistema internacional (SI), que é o apropriado para as fórmulas de capacitância e campo:
  • Área: 1\\ \mathrm{cm}^2 = 10^{-4}\\ \mathrm{m}^2. Então
A = 200\\ \mathrm{cm}^2 = 200 \times 10^{-4}\\ \mathrm{m}^2 = 2{,}00\times10^{-2}\\ \mathrm{m}^2.
  • Distância entre placas: 1\\ \mathrm{mm} = 10^{-3}\\ \mathrm{m}. Então
d = 2\\ \mathrm{mm} = 2 \times 10^{-3}\\ \mathrm{m} = 2{,}00\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
  • Permitividade do vácuo (constante física): vamos usar
\varepsilon_0 = 8{,}854\times10^{-12}\\ \mathrm{F\,m^{-1}}.
  • Permitividade do dielétrico (mica) é
\varepsilon = \varepsilon_r \varepsilon_0 = 5 \times \varepsilon_0.

Passo 3

Apresentar a fórmula que usamos para a capacitância de um capacitor plano (placas paralelas) com dielétrico homogêneo entre as placas e explicar cada símbolo:
A fórmula é
C = \frac{\varepsilon A}{d}.
Aqui:
  • C é a capacitância (unidad: \mathrm{F}, farad).
  • \varepsilon é a permitividade do dielétrico entre as placas (unidad: \mathrm{F\,m^{-1}}).
  • A é a área de sobreposição das placas (unidad: \mathrm{m}^2).
  • d é a distância entre as placas (unidad: \mathrm{m}).
Explicação do porquê da fórmula (breve e intuitiva): quanto maior for a área A, maior a capacidade de guardar carga; quanto maior for a distância d, menor a capacitância; o dielétrico aumenta a capacitância multiplicando por \varepsilon_r.

Passo 4

Calcular numericamente a capacitância usando os valores convertidos.
Primeiro calcule a permitividade do dielétrico:
\varepsilon = \varepsilon_r \varepsilon_0 = 5 \times 8{,}854\times10^{-12}\\ \mathrm{F\,m^{-1}} = 4{,}427\times10^{-11}\\ \mathrm{F\,m^{-1}}.
Agora plugamos na fórmula
C = \frac{\varepsilon A}{d}.
Substituindo números (mostrando a organização das potências de 10):
C = \frac{4{,}427\times10^{-11}\\ \mathrm{F\,m^{-1}} \times 2{,}00\times10^{-2}\\ \mathrm{m}^2}{2{,}00\times10^{-3}\\ \mathrm{m}}.
Calcule passo a passo:
  • Produto no numerador: 4{,}427\times10^{-11}\times2{,}00\times10^{-2} = 8{,}854\times10^{-13}.
  • Dividindo por 2{,}00\times10^{-3}
C = \frac{8{,}854\times10^{-13}}{2{,}00\times10^{-3}} = 4{,}427\times10^{-10}\\ \mathrm{F}.
Arredondando para três algarismos significativos,
C \approx 4{,}43\times10^{-10}\\ \mathrm{F},
que também pode ser escrito como aproximadamente 443\\ \mathrm{pF} (pois 1\\ \mathrm{pF}=10^{-12}\\ \mathrm{F}).

Passo 5

Calcular a carga em cada armadura quando a tensão entre elas for V = 1{,}000\\ \mathrm{V}.
Fórmula básica que relaciona carga e capacitância:
Q = C\,V,
onde Q é a carga (unidad: \mathrm{C}, coulomb), C é a capacitância e V é a tensão entre as placas.
Substituindo:
Q = 4{,}427\times10^{-10}\\ \mathrm{F} \times 1{,}000\\ \mathrm{V} = 4{,}427\times10^{-7}\\ \mathrm{C}.
Arredondando para três algarismos significativos,
Q \approx 4{,}43\times10^{-7}\\ \mathrm{C},
que também é 443\\ \mathrm{nC} (pois 1\\ \mathrm{nC}=10^{-9}\\ \mathrm{C}).

Passo 6

Calcular o gradiente de potencial (intensidade do campo elétrico) entre as armaduras.
Para um capacitor de placas paralelas com campo aproximadamente uniforme entre as placas, a intensidade do campo elétrico é dada por
E = \frac{V}{d},
onde E tem unidade \mathrm{V\,m^{-1}}.
Substituindo V = 1{,}000\\ \mathrm{V} e d = 2{,}00\times10^{-3}\\ \mathrm{m}:
E = \frac{1{,}000\\ \mathrm{V}}{2{,}00\times10^{-3}\\ \mathrm{m}} = 5{,}00\times10^{5}\\ \mathrm{V\,m^{-1}}.
Interpretação física rápida: o campo aponta da placa positiva para a negativa e seu módulo é 5{,}0\times10^{5}\\ \mathrm{V\,m^{-1}}.

Passo 7

Pequena verificação de coerência (rápida e útil para prova):
  • Dimensionalmente C ficou em farads, Q em coulombs e E em \mathrm{V\,m^{-1}}: coerente.
  • Ordem de grandeza faz sentido: placas relativamente pequenas e separação pequena com dielétrico que aumenta a capacitância por um fator 5 — capacitância na faixa de centenas de picofarad é plausível.
Força final de ânimo: você já tem as fórmulas básicas e os passos claros — com isso dá para resolver variações rápidas na prova.

Resposta

a. C = 4{,}43\times10^{-10}\\ \mathrm{F}.
b. Q = 4{,}43\times10^{-7}\\ \mathrm{C}.
c. E = 5{,}00\times10^{5}\\ \mathrm{V\,m^{-1}}.

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