Três partículas fixas ocupam cantos de um quadrado de lado a: \mathrm{q} 1=\mathrm{q} 2=+\mathrm{Q} e \mathrm{q} 3=+2 \mathrm{Q} (veja figura mental). Calcule a intensidade e direção do campo elétrico no centro do quadrado. Tome \mathrm{Q}=2,0 \mu \mathrm{C} e \mathrm{a}=0,150 \mathrm{~m}.

Passo 1

O enunciado pede a intensidade (módulo) e a direção do campo elétrico no centro de um quadrado de lado a, criado por três cargas puntiformes fixas em cantos do quadrado: \mathrm{q}_1=\mathrm{q}_2=+Q e \mathrm{q}_3=+2Q. Os dados numéricos são \;Q=2,0\\ \mu\mathrm{C}\; e \;a=0,150\\ \mathrm{m}.
Como o enunciado fala em “figura mental” e não enviou figura, eu vou assumir uma disposição concreta e explicitar essa escolha (se a sua figura mental for diferente, os passos serão os mesmos, mas as contas numéricas mudam conforme as posições — atenção nisso na prova). Minha suposição:
  • Coloco o centro do quadrado na origem do sistema de coordenadas (0,0).
  • Os quatro cantos têm coordenadas \left(\pm\frac{a}{2},\pm\frac{a}{2}\right).
  • Coloco as cargas assim:
    • \mathrm{q}_1=+Q em \left(-\frac{a}{2},+\frac{a}{2}\right),
    • \mathrm{q}_2=+Q em \left(+\frac{a}{2},+\frac{a}{2}\right),
    • \mathrm{q}_3=+2Q em \left(-\frac{a}{2},-\frac{a}{2}\right).
  • O canto \left(+\frac{a}{2},-\frac{a}{2}\right) fica vazio.
O objetivo: calcular o campo elétrico resultante \vec{E} no ponto (0,0) (o centro), em módulo e direção, usando os dados numéricos dados acima.

Passo 2

Fórmula que vamos usar (Lei de Coulomb para campo elétrico de uma carga pontual):
\vec{E}(\vec{r})=k\,\frac{q}{|\vec{r}-\vec{r}\,'|^{3}}\;(\vec{r}-\vec{r}\,')
onde:
  • k é a constante eletrostática ( k\approx 8,99\times10^{9}\\ \mathrm{N\,m^{2}/C^{2}}),
  • q é a carga fonte localizada em \vec{r}\,',
  • \vec{r} é o ponto onde queremos o campo (aqui \vec{r}=(0,0)),
  • \vec{r}-\vec{r}\,' é o vetor que vai da carga até o ponto de interesse.
Interpretação prática: o módulo do campo produzido por q a uma distância r é
E=\;k\,\frac{|q|}{r^{2}},
e a direção é ao longo da reta carga→ponto (repulsão para cargas positivas). Para somar vários campos, somamos vetorialmente as componentes E_x e E_y.

Passo 3

Distância do centro até qualquer canto. Se um canto tem coordenada \left(\pm\frac{a}{2},\pm\frac{a}{2}\right), então a distância ao centro é
r=\sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^{2}+\left(\frac{a}{2}\right)^{2}} =\sqrt{2\left(\frac{a}{2}\right)^{2}} =\frac{a}{\sqrt{2}}.
Isso vale para \mathrm{q}_1,\mathrm{q}_2,\mathrm{q}_3 (todos estão em cantos).

Passo 4

Módulo do campo produzido por uma carga q situada em um canto (distância r=\frac{a}{\sqrt{2}}):
E_{\text{canto}}=k\,\frac{|q|}{r^{2}} = k\,\frac{|q|}{\left(\frac{a}{\sqrt{2}}\right)^{2}} = k\,\frac{|q|}{\frac{a^{2}}{2}} = \frac{2k|q|}{a^{2}}.
Então, para cargas \pm Q ou \pm 2Q basta multiplicar por Q ou 2Q.

Passo 5

Determinar a direção (versores) de cada contribuição. Para a carga em \left(x_i,y_i\right) o versor que aponta da carga para o centro é
\hat{u}_i = -\frac{1}{r}\,(x_i\,\hat{\imath}+y_i\,\hat{\jmath}).
Com nossas posições:
  • Para \mathrm{q}_1 em \left(-\frac{a}{2},+\frac{a}{2}\right):
\hat{u}_1 = -\frac{1}{r}\left(-\frac{a}{2}\,\hat{\imath}+\frac{a}{2}\,\hat{\jmath}\right) = \frac{1}{r}\left(\frac{a}{2}\,\hat{\imath}-\frac{a}{2}\,\hat{\jmath}\right).
Como \frac{a/2}{r}=\frac{a/2}{a/\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}, temos
\hat{u}_1 = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\hat{\imath}-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\hat{\jmath}.
  • Para \mathrm{q}_2 em \left(+\frac{a}{2},+\frac{a}{2}\right):
\hat{u}_2 = -\frac{1}{r}\left(\frac{a}{2}\,\hat{\imath}+\frac{a}{2}\,\hat{\jmath}\right) = -\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\hat{\imath}-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\hat{\jmath}.
  • Para \mathrm{q}_3 em \left(-\frac{a}{2},-\frac{a}{2}\right):
\hat{u}_3 = -\frac{1}{r}\left(-\frac{a}{2}\,\hat{\imath}-\frac{a}{2}\,\hat{\jmath}\right) = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\hat{\imath}+\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\hat{\jmath}.
Esses versores têm todas as componentes iguais em módulo \frac{\sqrt{2}}{2}, só mudando sinais conforme o canto.

Passo 6

Agora as magnitudes individuais (usando \mathrm{q}_1=\mathrm{q}_2=+Q e \mathrm{q}_3=+2Q):
E_1 = \frac{2kQ}{a^{2}},\qquad E_2 = \frac{2kQ}{a^{2}},\qquad E_3 = \frac{2k(2Q)}{a^{2}}=\frac{4kQ}{a^{2}}.
Os vetores são \vec{E}_i=E_i\,\hat{u}_i. Escrevendo componentes x e y:
  • \vec{E}_1:
E_{1x}=E_1\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\frac{2kQ}{a^{2}}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{kQ\sqrt{2}}{a^{2}},
E_{1y}=E_1\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=-\frac{kQ\sqrt{2}}{a^{2}}.
  • \vec{E}_2:
E_{2x}=E_2\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=-\frac{kQ\sqrt{2}}{a^{2}},
E_{2y}=E_2\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=-\frac{kQ\sqrt{2}}{a^{2}}.
  • \vec{E}_3:
E_{3x}=E_3\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\frac{4kQ}{a^{2}}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{2kQ\sqrt{2}}{a^{2}},
E_{3y}=E_3\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\frac{2kQ\sqrt{2}}{a^{2}}.

Passo 7

Somando componente a componente para obter o campo resultante:
Componente x:
E_x = E_{1x}+E_{2x}+E_{3x} = \frac{kQ\sqrt{2}}{a^{2}}-\frac{kQ\sqrt{2}}{a^{2}}+\frac{2kQ\sqrt{2}}{a^{2}} = \frac{2kQ\sqrt{2}}{a^{2}}.
Componente y:
E_y = E_{1y}+E_{2y}+E_{3y} = -\frac{kQ\sqrt{2}}{a^{2}}-\frac{kQ\sqrt{2}}{a^{2}}+\frac{2kQ\sqrt{2}}{a^{2}} = 0.
Portanto o campo resultante é puramente horizontal (eixo x), no sentido positivo de x:
\vec{E} = E_x\,\hat{\imath} = \frac{2kQ\sqrt{2}}{a^{2}}\,\hat{\imath}.
O módulo é
E=\frac{2kQ\sqrt{2}}{a^{2}}.

Passo 8

Substituindo os valores numéricos com a vírgula decimal (conforme pedido):
k=8,99\times10^{9}\\ \mathrm{N\,m^{2}/C^{2}},\quad Q=2,0\times10^{-6}\\ \mathrm{C},\quad a=0,150\\ \mathrm{m}.
Calculando passo a passo:
\text{numerador}=2\cdot k\cdot Q\cdot\sqrt{2} =2\cdot(8,99\times10^{9})\cdot(2,0\times10^{-6})\cdot\sqrt{2} \approx 5,0838\times10^{4}.
a^{2}=(0,150)^{2}=0,0225\\ \mathrm{m^{2}}.
E=\frac{5,0838\times10^{4}}{0,0225}\\ \mathrm{N/C} \approx 2,26\times10^{6}\\ \mathrm{N/C}.
Direção: como E_y=0 e E_x>0, o campo aponta ao longo do eixo +x (para a direita), ou seja, 0^\circ medido a partir do eixo +x.

Resposta

E\approx 2,26\times10^{6}\\ \mathrm{N/C} \
direção: ao longo do eixo +x (para a direita, \;0^\circ\; em relação ao eixo +x).

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