O campo de velocidades de um fluido é dado por F(x, y, z)=3 z k e a superfície S é a esfera x^2+y^2+z^2=4. Ache o fluxo de F através de S verificando do teorema da divergência de Gauss. (Considere o comprimento em centímetros e o tempo em horas).

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de vec F(x,y,z)=3z,vec k através da esfera x^2+y^2+z^2=4 usando o teorema da divergência de Gauss. Este teorema afirma que
integral duplaS vec Fcdotvec n,dS ;=;integral triplaV nabla!cdot!vec F,dV
onde V é o sólido (a bola de raio 2) limitado pela superfície S.

Passo 2

Calcular a divergência de vec F. Como vec F=(0,0,3z), temos
nabla!cdot!vec F ;=;partialpartial x(0);+;partialpartial y(0);+;partialpartial z(3z) ;=;3

Passo 3

Aplicar o teorema da divergência:
Phi =integral duplaSvec Fcdotvec n,dS =integral triplaV(nabla!cdot!vec F),dV =integral triplaV3,dV =3;times;Vol(V)
Como V é a bola de raio 2, sua volume vale
Vol(V) =43,pi,2^3 =32pi3
Logo,
Phi =3times32pi3 =32pi

Resposta

Phi=32pi c m^3/h

Exercícios relacionados