Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha sobre a curva fechada simples C.
\oint_{C} \vec{F} . d \vec{r}, onde \vec{F}(x, y)=\left(-3 x^{2} y, 3 x y^{2}\right), e C é a circunferência
, no sentido anti-horário.
\oint_{C} \vec{F} . d \vec{r}, onde \vec{F}(x, y)=\left(-3 x^{2} y, 3 x y^{2}\right), e C é a circunferência
Passo 1
O enunciado pede a integral de linha
onde
e
é a circunferência
orientada no sentido anti-horário.
Vamos usar o Teorema de Green, que transforma a integral de linha num integral dupla sobre a região interior a
.
Vamos usar o Teorema de Green, que transforma a integral de linha num integral dupla sobre a região
Passo 2
Pelo Teorema de Green temos
Aqui
logo o integrando fica
Passo 3
A região
é o disco
isto é, círculo de centro
e raio
.
Assim
Assim
Passo 4
Para calcular
vamos usar coordenadas polares usuais .
Em polares o círculo é dado por
vamos usar coordenadas polares usuais
Em polares o círculo é dado por
porque
é a curva
.
No integrando e
.
Portanto
No integrando
Portanto
Passo 5
Calculemos
Logo
Usando a identidade
vem