Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha sobre a curva fechada simples C.
\oint_{C} \vec{F} . d \vec{r}, onde \vec{F}(x, y)=\left(-3 x^{2} y, 3 x y^{2}\right), e C é a circunferência x^2+y^2-4 y=0, no sentido anti-horário.

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha
ointCvec Fcdot dvec r
onde vec F(x,y)=l(P(x,y),Q(x,y)r)=l(-3x^2y,;3xy^2r) e C é a circunferência
x^2+y^2-4y=0,
orientada no sentido anti-horário.
Vamos usar o Teorema de Green, que transforma a integral de linha num integral dupla sobre a região D interior a C.

Passo 2

Pelo Teorema de Green temos
ointCP,dx + Q,dy ;=;integral duplaDl(partial Qpartial x-partial Ppartial yr),dA
Aqui
partial Qpartial x =partialpartial xl(3xy^2r)=3y^2, partial Ppartial y =partialpartial yl(-3x^2yr)=-3x^2,
logo o integrando fica
partial Qpartial x-partial Ppartial y =3y^2 -(-3x^2) =3(x^2+y^2)

Passo 3

A região D é o disco
x^2+(y-2)^2<=4,
isto é, círculo de centro (0,2) e raio 2.
Assim
ointCvec Fcdot dvec r =integral duplaD3l(x^2+y^2r),dA

Passo 4

Para calcular
integral duplaD3(x^2+y^2),dA
vamos usar coordenadas polares usuais (x=rcostheta,;y=rsintheta).
Em polares o círculo é dado por
r <= 4sintheta, 0<=theta<=pi,
porque r=4sintheta é a curva x^2+y^2=4y.
No integrando x^2+y^2=r^2 e dA=r,dr,dtheta.
Portanto
integral duplaD3(x^2+y^2),dA = integral0^pi!integral0^4sintheta 3,r^2 ,(r,dr,dtheta) =3integral0^pi!integral0^4sinthetar^3,dr,dtheta

Passo 5

Calculemos
integral0^4sinthetar^3,dr =r^44|0^4sintheta =(4sintheta)^44 =256sin^4theta4 =64,sin^4theta
Logo
3integral0^pi!integral0^4sinthetar^3,dr,dtheta =3integral0^pi64,sin^4theta,dtheta =192integral0^pisin^4theta,dtheta
Usando a identidade
integral0^pisin^4theta,dtheta =3pi8,
vem
192cdot 3pi8 =24cdot3pi =72pi

Resposta

boxed72pi

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