Seja F(x, y, z)=(2 x-z, x^2 y, x z^2), e suponha que T é um cubo limitado pelos planos x=0, x=1, y=0, y=1, z=0 e z=1. Se S representa a superfície de T, ache o fluxo de F através de S verificando o teorema da divergência de Gauss. (Considere o comprimento em metros e o tempo em segundos).

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial vec F(x,y,z)=(2x - z,;x^2y,;xz^2) e um cubo T com faces nos planos x=0, x=1, y=0, y=1, z=0 e z=1. Pede-se o fluxo de vec F através da superfície S=partial T, usando o teorema da divergência de Gauss, que diz que
integral duplaSvec Fcdot dvec S = integral triplaTl(nablacdotvec Fr),dV

Passo 2

Calcular a divergência de vec F:
nablacdotvec F =partialpartial x(2x - z) +partialpartial y(x^2y) +partialpartial z(xz^2) =2 + x^2 + 2xz

Passo 3

Pelo teorema de Gauss, o fluxo vale
Phi =integral triplaT(2 + x^2 + 2xz),dV =integral0^1!!integral0^1!!integral0^1(2 + x^2 + 2xz),dx,dy,dz

Passo 4

Avaliamo-lo termo a termo:
integral0^1!!integral0^1!!integral0^12,dV =2cdot1cdot1cdot1=2,
integral0^1!!integral0^1!!integral0^1x^2,dV =l(integral0^1x^2dxr)cdot1cdot1 =13,
integral0^1!!integral0^1!!integral0^12xz,dV =2l(integral0^1x,dxr)l(integral0^1z,dzr)cdot1 =2cdot12cdot12 =12
Somando,
Phi=2+13+12 =176

Resposta

Phi=176,m^3s

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