- Um campo vetorial de velocidades é dado pela expressão:
(a) Esse campo é em regime permanente ou não? Justifique.
(b) Ele é bidimensional ou tridimensional? Justifique.
(c) Faça um esboço dele (pode usar um programa para poltá-lo).
(d) No instante
, determine a aceleração no ponto
(b) Ele é bidimensional ou tridimensional? Justifique.
(c) Faça um esboço dele (pode usar um programa para poltá-lo).
(d) No instante
Passo 1
O enunciado dá o campo de velocidades
e pede quatro coisas:
- (a) determinar se o campo é em regime permanente (steady) ou não e justificar;
- (b) dizer se é bidimensional ou tridimensional e justificar;
- (c) fazer um esboço do campo (pode-se tomar um instante fixo para desenhar);
- (d) no instante
, calcular a aceleração no ponto .
Informações relevantes retiradas do enunciado:
- As componentes do campo são
. - A variável tempo
aparece explicitamente nas componentes e . - A componente
depende de e .
Passo 2
(a) O que significa “regime permanente” (steady)?
- Um campo de velocidades é em regime permanente quando ele não muda com o tempo: isto é, quando a derivada parcial em relação ao tempo é nula em todo ponto do espaço. Formalmente, o campo é steady se
Vamos calcular explicitamente
usando as componentes dadas. Derivando cada componente em relação a
mantendo
fixos:
Portanto
Como essa expressão não é identicamente nula (por exemplo para
ou
a derivada parcial é diferente de zero), o campo varia no tempo em geral. Conclusão: o campo NÃO é em regime permanente.
Passo 3
(b) O que significa ser bidimensional ou tridimensional?
- Dizemos que um campo é bidimensional quando efetivamente há apenas duas componentes independentes não nulas (ou quando as componentes dependem só de duas coordenadas e a terceira componente é sempre zero). É tridimensional quando as três componentes podem ser não nulas e dependem das coordenadas espaciais de maneira não trivial.
No nosso caso as três componentes estão explícitas:
A componente
depende de
e
e não é identicamente zero (por exemplo para
e
tem valor não nulo). Logo o campo tem, em geral, três componentes não nulas e depende das três coordenadas espaciais. Conclusão: o campo é TRIDIMENSIONAL. (Observação prática: restrito ao plano
ele reduz-se a um campo bidimensional, mas o campo geral do enunciado é 3D.)
Passo 4
(c) Como esboçar o campo? estratégia didática
- Para esboçar vetores de um campo de velocidade em um instante fixo
, fixamos e, em uma grelha de pontos , calculamos e desenhamos setas. Outra forma útil é obter as linhas de corrente/streamlines (as curvas tangentes ao vetor velocidade) resolvendo a equação diferencial das streamlines:
- Para um esboço simples normalmente escolhe-se uma fatia, por exemplo o plano
, onde as flechas ficam mais fáceis de visualizar.
Vou tomar o instante
(compatível com a parte (d)) e esboçar qualitativamente no plano
. Primeiro as componentes naquele instante:
No plano
temos
. Assim no plano
o campo é bidimensional com
Cálculo das streamlines no plano
:
Isto é uma equação separável:
portanto as streamlines satisfazem
Ou seja, para
as linhas de corrente no plano
são curvas do tipo
(hiperbolóides quando estendidas ao 3D). Isso dá a forma geral: vetores apontam para a direita se
(porque
), para a esquerda se
; e
aponta para baixo se
(porque
), para cima se
. Assim há um efeito semelhante a rotacional/varredura.
Alguns vetores amostra no plano
e
:
- em
: — seta para a direita e bastante para baixo; - em
: — esquerda e para baixo; - em
: — direita e para cima; - em
: — esquerda e para cima.
Essas informações já permitem um esboço manual: desenhar setas nas posições acima e traçar algumas curvas do tipo
para representar as linhas de corrente. Se for usado um programa de plot (por exemplo Python/Matplotlib, ParaView ou outro), basta gerar uma grelha e plotar os vetores
para obter um mapa de vetores no plano
.
Passo 5
(d) O que é aceleração de um campo de velocidade? (aula rápida)
- Para um fluido (ou para o movimento de uma partícula fluida) a aceleração é a derivada material (total) da velocidade ao seguir a partícula. A fórmula é
Aqui:
-
é a aceleração local (variação temporal em um ponto fixo do espaço); -
é a aceleração convectiva (variação devido ao deslocamento pela região onde a velocidade muda espacialmente). - A operação
em componentes se escreve
Vamos aplicar isso passo a passo ao nosso campo.
Passo 6
Calcular
(já feito no Passo 2, repito para clareza):
Passo 7
Calcular
componente a componente.
Primeiro as derivadas parciais espaciais das componentes:
- para
:
- para
:
- para
:
Agora montar cada componente de
.
Componente
:
Substituindo
:
Componente
:
Substituindo
:
Componente
:
Substituindo
e
:
Portanto
Passo 8
Somar as partes local e convectiva para obter a aceleração total:
Substituindo os resultados:
Essa é a expressão geral da aceleração como função de
.
Passo 9
Avaliar a aceleração no instante
no ponto
.
Primeiro calculemos os poderes de
:
Agora componentes com substituições.
Componente
:
Componente
:
Componente
:
Logo a aceleração pedida é
Unidade implícita:
se as componentes de velocidade estão em
e
em
.
Resposta
(a) Não; o campo NÃO é em regime permanente, pois
em geral.
(b) Tridimensional; as três componentes
,
,
podem ser não nulas e dependem das três coordenadas.
(c) Esboço (instantâneo em
no plano
): campo bidimensional
; linhas de corrente dadas por
. Exemplos de vetores: em
, em
, em
, em
. (Desenhar setas conforme esses vetores e traçar curvas
.)
(d)