1. Um campo vetorial de velocidades é dado pela expressão:
\boldsymbol{v}=4 t y \boldsymbol{i}-3 t^{3} x \boldsymbol{j}+3 z y \boldsymbol{k}
(a) Esse campo é em regime permanente ou não? Justifique.
(b) Ele é bidimensional ou tridimensional? Justifique.
(c) Faça um esboço dele (pode usar um programa para poltá-lo).
(d) No instante t=2 s, determine a aceleração no ponto (x, y, z)=(1,-2,0)

Passo 1

O enunciado dá o campo de velocidades
\boldsymbol{v}=4 t y\,\boldsymbol{i}-3 t^{3} x\,\boldsymbol{j}+3 z y\,\boldsymbol{k},
e pede quatro coisas:
  • (a) determinar se o campo é em regime permanente (steady) ou não e justificar;
  • (b) dizer se é bidimensional ou tridimensional e justificar;
  • (c) fazer um esboço do campo (pode-se tomar um instante fixo para desenhar);
  • (d) no instante \,t=2\\ \text{s}, calcular a aceleração no ponto (x,y,z)=(1,-2,0).
Informações relevantes retiradas do enunciado:
  • As componentes do campo são \,v_x=4 t y\,,\; v_y=-3 t^3 x\,,\; v_z=3 z y.
  • A variável tempo \,t aparece explicitamente nas componentes \,v_x e \,v_y.
  • A componente \,v_z depende de \,z e \,y.

Passo 2

(a) O que significa “regime permanente” (steady)?
  • Um campo de velocidades é em regime permanente quando ele não muda com o tempo: isto é, quando a derivada parcial em relação ao tempo é nula em todo ponto do espaço. Formalmente, o campo é steady se
\frac{\partial \boldsymbol{v}}{\partial t}=\boldsymbol{0}.
Vamos calcular explicitamente \,\partial \boldsymbol{v}/\partial t usando as componentes dadas. Derivando cada componente em relação a \,t mantendo (x,y,z) fixos:
\frac{\partial v_x}{\partial t}=\frac{\partial}{\partial t}(4 t y)=4 y,
\frac{\partial v_y}{\partial t}=\frac{\partial}{\partial t}(-3 t^3 x)=-9 t^2 x,
\frac{\partial v_z}{\partial t}=\frac{\partial}{\partial t}(3 z y)=0.
Portanto
\frac{\partial \boldsymbol{v}}{\partial t}=4 y\,\boldsymbol{i}-9 t^2 x\,\boldsymbol{j}+0\,\boldsymbol{k}.
Como essa expressão não é identicamente nula (por exemplo para y\neq0 ou x\neq0 a derivada parcial é diferente de zero), o campo varia no tempo em geral. Conclusão: o campo NÃO é em regime permanente.

Passo 3

(b) O que significa ser bidimensional ou tridimensional?
  • Dizemos que um campo é bidimensional quando efetivamente há apenas duas componentes independentes não nulas (ou quando as componentes dependem só de duas coordenadas e a terceira componente é sempre zero). É tridimensional quando as três componentes podem ser não nulas e dependem das coordenadas espaciais de maneira não trivial.
No nosso caso as três componentes estão explícitas:
v_x=4 t y,\qquad v_y=-3 t^3 x,\qquad v_z=3 z y.
A componente \,v_z depende de \,z e \,y e não é identicamente zero (por exemplo para y\neq0 e z\neq0 tem valor não nulo). Logo o campo tem, em geral, três componentes não nulas e depende das três coordenadas espaciais. Conclusão: o campo é TRIDIMENSIONAL. (Observação prática: restrito ao plano \,z=0 ele reduz-se a um campo bidimensional, mas o campo geral do enunciado é 3D.)

Passo 4

(c) Como esboçar o campo? estratégia didática
  • Para esboçar vetores de um campo de velocidade em um instante fixo \,t, fixamos \,t e, em uma grelha de pontos (x,y,z), calculamos \,(v_x,v_y,v_z) e desenhamos setas. Outra forma útil é obter as linhas de corrente/streamlines (as curvas tangentes ao vetor velocidade) resolvendo a equação diferencial das streamlines:
\frac{dx}{v_x}=\frac{dy}{v_y}=\frac{dz}{v_z}.
  • Para um esboço simples normalmente escolhe-se uma fatia, por exemplo o plano \,z=0, onde as flechas ficam mais fáceis de visualizar.
Vou tomar o instante \,t=2\\ \text{s} (compatível com a parte (d)) e esboçar qualitativamente no plano \,z=0. Primeiro as componentes naquele instante:
v_x( t=2)=4\cdot 2\cdot y=8y, \qquad v_y( t=2)=-3\cdot 2^3\cdot x=-24x, \qquad v_z( t=2)=3 z y.
No plano \,z=0 temos \,v_z=0. Assim no plano z=0 o campo é bidimensional com
v_x=8y,\qquad v_y=-24x.
Cálculo das streamlines no plano z=0:
\frac{dy}{dx}=\frac{v_y}{v_x}=\frac{-24x}{8y}=-\frac{3 x}{y}.
Isto é uma equação separável:
\frac{dy}{y}=-3\frac{dx}{x}\quad\Rightarrow\quad \ln|y|=-3\ln|x|+C,
portanto as streamlines satisfazem
y=C\,x^{-3}.
Ou seja, para \,t=2 as linhas de corrente no plano z=0 são curvas do tipo y\propto x^{-3} (hiperbolóides quando estendidas ao 3D). Isso dá a forma geral: vetores apontam para a direita se y>0 (porque v_x=8y>0), para a esquerda se y<0; e v_y aponta para baixo se x>0 (porque v_y=-24x<0), para cima se x<0. Assim há um efeito semelhante a rotacional/varredura.
Alguns vetores amostra no plano z=0 e \,t=2:
  • em (x,y)=(1,1): \boldsymbol{v}=(8,-24,0) — seta para a direita e bastante para baixo;
  • em (1,-1): \boldsymbol{v}=(-8,-24,0) — esquerda e para baixo;
  • em (-1,1): \boldsymbol{v}=(8,24,0) — direita e para cima;
  • em (-1,-1): \boldsymbol{v}=(-8,24,0) — esquerda e para cima.
Essas informações já permitem um esboço manual: desenhar setas nas posições acima e traçar algumas curvas do tipo y=C x^{-3} para representar as linhas de corrente. Se for usado um programa de plot (por exemplo Python/Matplotlib, ParaView ou outro), basta gerar uma grelha e plotar os vetores (8y,-24x,0) para obter um mapa de vetores no plano z=0.

Passo 5

(d) O que é aceleração de um campo de velocidade? (aula rápida)
  • Para um fluido (ou para o movimento de uma partícula fluida) a aceleração é a derivada material (total) da velocidade ao seguir a partícula. A fórmula é
\boldsymbol{a}=\frac{D\boldsymbol{v}}{Dt}=\frac{\partial \boldsymbol{v}}{\partial t}+(\boldsymbol{v}\cdot\nabla)\boldsymbol{v}.
Aqui:
  • \,\partial \boldsymbol{v}/\partial t é a aceleração local (variação temporal em um ponto fixo do espaço);
  • (\boldsymbol{v}\cdot\nabla)\boldsymbol{v} é a aceleração convectiva (variação devido ao deslocamento pela região onde a velocidade muda espacialmente).
  • A operação (\boldsymbol{v}\cdot\nabla)\boldsymbol{v} em componentes se escreve
(\boldsymbol{v}\cdot\nabla)\boldsymbol{v}= \big(v_x\partial_x v_x+v_y\partial_y v_x+v_z\partial_z v_x\big)\boldsymbol{i}+ \big(v_x\partial_x v_y+v_y\partial_y v_y+v_z\partial_z v_y\big)\boldsymbol{j}+ \big(v_x\partial_x v_z+v_y\partial_y v_z+v_z\partial_z v_z\big)\boldsymbol{k}.
Vamos aplicar isso passo a passo ao nosso campo.

Passo 6

Calcular \partial \boldsymbol{v}/\partial t (já feito no Passo 2, repito para clareza):
\frac{\partial \boldsymbol{v}}{\partial t}=4 y\,\boldsymbol{i}-9 t^2 x\,\boldsymbol{j}+0\,\boldsymbol{k}.

Passo 7

Calcular (\boldsymbol{v}\cdot\nabla)\boldsymbol{v} componente a componente.
Primeiro as derivadas parciais espaciais das componentes:
  • para v_x=4 t y:
\partial_x v_x=0,\qquad \partial_y v_x=4 t,\qquad \partial_z v_x=0.
  • para v_y=-3 t^3 x:
\partial_x v_y=-3 t^3,\qquad \partial_y v_y=0,\qquad \partial_z v_y=0.
  • para v_z=3 z y:
\partial_x v_z=0,\qquad \partial_y v_z=3 z,\qquad \partial_z v_z=3 y.
Agora montar cada componente de (\boldsymbol{v}\cdot\nabla)\boldsymbol{v}.
Componente \boldsymbol{i}:
(\boldsymbol{v}\cdot\nabla)v_x = v_x\partial_x v_x + v_y\partial_y v_x + v_z\partial_z v_x = 0 + v_y(4 t) + 0 =4 t\,v_y.
Substituindo v_y=-3 t^3 x:
(\boldsymbol{v}\cdot\nabla)v_x=4 t\cdot(-3 t^3 x)=-12 t^4 x.
Componente \boldsymbol{j}:
(\boldsymbol{v}\cdot\nabla)v_y = v_x\partial_x v_y + v_y\partial_y v_y + v_z\partial_z v_y = v_x(-3 t^3) + 0 + 0 =-3 t^3 v_x.
Substituindo v_x=4 t y:
(\boldsymbol{v}\cdot\nabla)v_y=-3 t^3\cdot(4 t y)=-12 t^4 y.
Componente \boldsymbol{k}:
(\boldsymbol{v}\cdot\nabla)v_z = v_x\partial_x v_z + v_y\partial_y v_z + v_z\partial_z v_z = 0 + v_y(3 z) + v_z(3 y).
Substituindo v_y=-3 t^3 x e v_z=3 z y:
(\boldsymbol{v}\cdot\nabla)v_z=3 z(-3 t^3 x)+3 y(3 z y) = -9 t^3 x z +9 y^2 z = z\big(-9 t^3 x+9 y^2\big).
Portanto
(\boldsymbol{v}\cdot\nabla)\boldsymbol{v}= -12 t^4 x\,\boldsymbol{i}-12 t^4 y\,\boldsymbol{j}+z\big(-9 t^3 x+9 y^2\big)\boldsymbol{k}.

Passo 8

Somar as partes local e convectiva para obter a aceleração total:
\boldsymbol{a}=\frac{\partial \boldsymbol{v}}{\partial t}+(\boldsymbol{v}\cdot\nabla)\boldsymbol{v}.
Substituindo os resultados:
\boldsymbol{a}=\big(4 y-12 t^4 x\big)\boldsymbol{i}+\big(-9 t^2 x-12 t^4 y\big)\boldsymbol{j} +z\big(-9 t^3 x+9 y^2\big)\boldsymbol{k}.
Essa é a expressão geral da aceleração como função de (x,y,z,t).

Passo 9

Avaliar a aceleração no instante \,t=2\\ \text{s} no ponto (x,y,z)=(1,-2,0).
Primeiro calculemos os poderes de t:
t=2\quad\Rightarrow\quad t^2=4,\quad t^3=8,\quad t^4=16.
Agora componentes com substituições.
Componente \boldsymbol{i}:
a_x=4 y-12 t^4 x=4\cdot(-2)-12\cdot16\cdot 1=-8-192=-200.
Componente \boldsymbol{j}:
a_y=-9 t^2 x-12 t^4 y=-9\cdot4\cdot1-12\cdot16\cdot(-2)=-36+384=348.
Componente \boldsymbol{k}:
a_z=z\big(-9 t^3 x+9 y^2\big)=0\cdot(\cdots)=0.
Logo a aceleração pedida é
\boldsymbol{a}(-\text{no ponto e instante dados})=(-200)\,\boldsymbol{i}+348\,\boldsymbol{j}+0\,\boldsymbol{k}.
Unidade implícita: \text{m}/\text{s}^2 se as componentes de velocidade estão em \text{m}/\text{s} e t em \text{s}.

Resposta

(a) Não; o campo NÃO é em regime permanente, pois \displaystyle \frac{\partial \boldsymbol{v}}{\partial t}=4 y\,\boldsymbol{i}-9 t^2 x\,\boldsymbol{j}\neq\boldsymbol{0} em geral.
(b) Tridimensional; as três componentes \,v_x=4 t y, \,v_y=-3 t^3 x, \,v_z=3 z y podem ser não nulas e dependem das três coordenadas.
(c) Esboço (instantâneo em \,t=2 no plano \,z=0): campo bidimensional \,(v_x,v_y)=(8y,-24x); linhas de corrente dadas por \,y=C x^{-3}. Exemplos de vetores: em (1,1) \boldsymbol{v}=(8,-24,0), em (1,-1) \boldsymbol{v}=(-8,-24,0), em (-1,1) \boldsymbol{v}=(8,24,0), em (-1,-1) \boldsymbol{v}=(-8,24,0). (Desenhar setas conforme esses vetores e traçar curvas y=Cx^{-3}.)
(d) \displaystyle \boldsymbol{a}(t=2;\,x=1,y=-2,z=0)=(-200)\,\boldsymbol{i}+348\,\boldsymbol{j}+0\,\boldsymbol{k}

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